Номер 5, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

5. Найдите площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной усеченной пирамиды со сторонами оснований 10 см и 4 см и боковым ребром 5 см.

Для решения задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности и площади двух оснований правильной треугольной усеченной пирамиды.

Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из трех одинаковых равнобедренных трапеций. Основаниями этих трапеций являются стороны оснований пирамиды, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды.

Дано:
- сторона большего основания (нижнее основание трапеции) $a_1 = 10$ см;
- сторона меньшего основания (верхнее основание трапеции) $a_2 = 4$ см;
- боковое ребро (боковая сторона трапеции) $l = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$, где $h_a$ — высота трапеции (также называемая апофемой усеченной пирамиды).

Чтобы найти высоту $h_a$, рассмотрим одну из боковых граней (равнобедренную трапецию). Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию, и два равных отрезка по бокам.

Длина каждого из этих отрезков равна полуразности оснований: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это боковое ребро $l=5$ см, один катет — это отрезок на основании, равный $3$ см, а второй катет — это искомая высота трапеции $h_a$.

По теореме Пифагора:
$l^2 = h_a^2 + (\frac{a_1 - a_2}{2})^2$
$5^2 = h_a^2 + 3^2$
$25 = h_a^2 + 9$
$h_a^2 = 25 - 9 = 16$
$h_a = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани (трапеции):
$S_{трап} = \frac{10 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$ см².

Поскольку боковая поверхность состоит из трех таких трапеций, ее площадь равна:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{трап} = 3 \cdot 28 = 84$ см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна $84$ см².

Нахождение площади полной поверхности ($S_{полн}$)

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух ее оснований:
$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2$, где $S_1$ — площадь большего основания, а $S_2$ — площадь меньшего основания.

Основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

1. Найдем площадь большего основания ($S_1$) со стороной $a_1 = 10$ см:
$S_1 = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь меньшего основания ($S_2$) со стороной $a_2 = 4$ см:
$S_2 = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

3. Теперь вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2 = 84 + 25\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 84 + (25+4)\sqrt{3} = 84 + 29\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна $84 + 29\sqrt{3}$ см².