Номер 3, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. Могут ли в одной вершине правильного многогранника сходиться два, три, четыре, пять ребер?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойство выпуклых многогранников: сумма плоских углов граней, сходящихся в одной вершине, должна быть меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Если сумма равна $360^\circ$, то грани образуют плоскую поверхность.

Правильный многогранник (или Платоново тело) состоит из одинаковых правильных $n$-угольников, и в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер, которое мы обозначим как $k$.

Внутренний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha_n = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$.

Таким образом, для существования правильного многогранника должно выполняться основное условие: $k \cdot \alpha_n < 360^\circ$. Кроме того, для образования пространственного угла в вершине необходимо, чтобы сходилось не менее трёх граней, то есть $k \ge 3$.

Два ребра

В одной вершине многогранника не могут сходиться только два ребра. Это следует из того, что для образования вершины необходимо как минимум три грани, которые образуют пространственный угол. Две грани, встречаясь, образуют лишь ребро (двугранный угол). Таким образом, условие $k \ge 3$ не выполняется.

Ответ: Нет, не могут.

Три ребра

Рассмотрим случай, когда в вершине сходится три ребра ($k=3$). Условие принимает вид: $3 \cdot \alpha_n < 360^\circ$, что равносильно $\alpha_n < 120^\circ$.

Подставим формулу для угла правильного $n$-угольника и решим неравенство относительно $n$:

$\frac{180^\circ(n-2)}{n} < 120^\circ \implies 3(n-2) < 2n \implies 3n - 6 < 2n \implies n < 6$.

Так как грань должна быть многоугольником ($n \ge 3$), то возможные значения для $n$ — это 3, 4 и 5.

• При $n=3$ (грань — правильный треугольник, $\alpha_3 = 60^\circ$): $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это тетраэдр.
• При $n=4$ (грань — квадрат, $\alpha_4 = 90^\circ$): $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это куб (гексаэдр).
• При $n=5$ (грань — правильный пятиугольник, $\alpha_5 = 108^\circ$): $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это додекаэдр.

Ответ: Да, могут.

Четыре ребра

Рассмотрим случай, когда в вершине сходится четыре ребра ($k=4$). Условие: $4 \cdot \alpha_n < 360^\circ$, или $\alpha_n < 90^\circ$.

Решим неравенство относительно $n$:

$\frac{180^\circ(n-2)}{n} < 90^\circ \implies 2(n-2) < n \implies 2n - 4 < n \implies n < 4$.

С учётом условия $n \ge 3$, единственно возможное целое значение — это $n=3$.

• При $n=3$ (грань — правильный треугольник, $\alpha_3 = 60^\circ$): $4 \cdot 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это октаэдр.

Ответ: Да, могут.

Пять ребер

Рассмотрим случай, когда в вершине сходится пять ребер ($k=5$). Условие: $5 \cdot \alpha_n < 360^\circ$, или $\alpha_n < 72^\circ$.

Решим неравенство относительно $n$:

$\frac{180^\circ(n-2)}{n} < 72^\circ \implies 5(n-2) < 2n \implies 5n - 10 < 2n \implies 3n < 10 \implies n < 10/3$.

Так как $n \ge 3$ и $n$ — целое число, то единственное возможное значение — это $n=3$.

• При $n=3$ (грань — правильный треугольник, $\alpha_3 = 60^\circ$): $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это икосаэдр.

Ответ: Да, могут.