Номер 22, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

22. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 дм, а высота пирамиды – 10 дм. Через середину бокового ребра пирамиды проведена секущая плоскость параллельно основанию. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$. По условию, сторона основания $a = AB = BC = AC = 12$ дм, а высота пирамиды $SO = H = 10$ дм, где $O$ — центр треугольника $ABC$.

Через середину бокового ребра, например, точку $M$ на ребре $SA$, проведена секущая плоскость, параллельная основанию $ABC$. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду $SA_1B_1C_1$, подобную пирамиде $SABC$. Сечением является треугольник $A_1B_1C_1$.

Так как секущая плоскость параллельна основанию, то треугольник сечения $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику основания $ABC$. Следовательно, сечение также является равносторонним треугольником.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ для данных пирамид можно найти как отношение их высот или длин соответствующих ребер.

Поскольку секущая плоскость проходит через середину бокового ребра $SA$, то точка $M$ делит ребро $SA$ пополам: $SM = \frac{1}{2}SA$. Вершина $S$ является общей для обеих пирамид, поэтому коэффициент подобия $k$ равен:$k = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{2}$

Площадь основания $S_{осн}$ (равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a = 12$ дм) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ дм².

Площадь сечения $S_{сеч}$ связана с площадью основания через квадрат коэффициента подобия:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2$$S_{сеч} = S_{осн} \cdot k^2 = 36\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{2})^2 = 36\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} = 9\sqrt{3}$ дм².

Заметим, что значение высоты пирамиды ($10$ дм) является избыточным для решения этой задачи.

Ответ: $9\sqrt{3}$ дм².