Номер 19, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

19. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна $36 \text{ см}^2$, боковое ребро — $5 \text{ см}$. Найдите апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения задачи представим правильную четырехугольную пирамиду и ее элементы на схеме. Красным цветом выделен прямоугольный треугольник, используемый для нахождения апофемы.

Апофема

Сначала найдем сторону основания пирамиды. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть его сторона равна $b$. Площадь основания $S_{осн}$ дана и равна 36 см².
$S_{осн} = b^2 \implies b = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.
Апофема ($a$) — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Боковая грань является равнобедренным треугольником с основанием $b=6$ см и боковыми сторонами, равными боковому ребру пирамиды $l=5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой ($a$), боковым ребром ($l$) и половиной стороны основания ($b/2$). В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а апофема и половина стороны основания — катетами.
$l = 5 \text{ см}$ (гипотенуза)
$b/2 = 6/2 = 3 \text{ см}$ (катет)
По теореме Пифагора: $l^2 = a^2 + (b/2)^2$.
$5^2 = a^2 + 3^2$
$25 = a^2 + 9$
$a^2 = 25 - 9 = 16$
$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.
Ответ: 4 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot a$, где $P$ — периметр основания, а $a$ — апофема.
Периметр основания (квадрата со стороной $b=6$ см) равен:
$P = 4 \cdot b = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$.
Апофему мы нашли в предыдущем пункте: $a = 4 \text{ см}$.
Подставим значения в формулу площади:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}^2$.
Ответ: 48 см².