Номер 5, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

5. Радиус цилиндра 6 см, диагональ осевого сечения 13 см. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) площадь осевого сечения;

в) площадь боковой поверхности;

г) площадь поверхности цилиндра.

По условию задачи, радиус цилиндра $r = 6$ см, а диагональ его осевого сечения $d = 13$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника и является диагональю осевого сечения.

Сначала найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ниже представлена схема осевого сечения:

а) высоту цилиндра

Высота цилиндра $h$, диаметр основания $D$ и диагональ осевого сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $d$ является гипотенузой, а $h$ и $D$ — катетами. По теореме Пифагора:

$h^2 + D^2 = d^2$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:

$h^2 + 12^2 = 13^2$

$h^2 + 144 = 169$

$h^2 = 169 - 144$

$h^2 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 5 см.

б) площадь осевого сечения

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ — это площадь прямоугольника со сторонами $h$ и $D$.

$S_{сеч} = D \cdot h$

Подставим значения, найденные ранее:

$S_{сеч} = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Ответ: площадь осевого сечения равна 60 см².

в) площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi r h$

Подставим известные значения $r = 6$ см и $h = 5$ см:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 6 \cdot 5 = 60 \pi$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности равна $60 \pi$ см².

г) площадь поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (двух кругов).

Сначала найдем площадь одного основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36 \pi$ см².

Теперь вычислим полную площадь поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

$S_{полн} = 60 \pi + 2 \cdot 36 \pi = 60 \pi + 72 \pi = 132 \pi$ см².

Ответ: площадь поверхности цилиндра равна $132 \pi$ см².