Страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Опишите все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.

2. Что является сечением сферы плоскостью, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы?

3. Что называют большим кругом шара?

4. Какую плоскость называют касательной плоскостью к сфере?

5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания плоскости и сферы?

6. Какую прямую называют касательной к сфере?

7. Каким свойством должна обладать плоскость, чтобы она являлась касательной плоскостью к сфере?

8. Опишите, в каком случае говорят, что сферы касаются внешним (внутренним) образом.

1. Опишите все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется соотношением между расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости и радиусом сферы $R$. Существует три возможных случая:

• Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы ($d < R$), то сфера и плоскость пересекаются. Линией их пересечения (сечением сферы) является окружность.

• Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы ($d = R$), то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что плоскость касается сферы (является касательной плоскостью).

• Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы ($d > R$), то сфера и плоскость не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Ответ: Сфера и плоскость могут пересекаться по окружности ($d<R$), касаться в одной точке ($d=R$) или не иметь общих точек ($d>R$).

2. Что является сечением сферы плоскостью, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы?

Если расстояние $d$ от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы $R$, то сечением сферы этой плоскостью является окружность. Радиус этой окружности $r$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $R$ (гипотенуза), расстоянием от центра до плоскости $d$ (катет) и радиусом сечения $r$ (второй катет). Таким образом, $R^2 = d^2 + r^2$, откуда радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Центром этой окружности является основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость.

Ответ: Окружность.

3. Что называют большим кругом шара?

Большим кругом шара (или большой окружностью сферы) называют сечение шара (сферы) плоскостью, которая проходит через его центр. Радиус большого круга равен радиусу самого шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Через две точки на сфере, не являющиеся диаметрально противоположными, можно провести только один большой круг.

Ответ: Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр.

4. Какую плоскость называют касательной плоскостью к сфере?

Касательной плоскостью к сфере называют плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы.

Ответ: Плоскость, имеющую со сферой только одну общую точку.

5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания плоскости и сферы?

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, обладает свойством перпендикулярности к этой касательной плоскости. Это основная теорема о касательной плоскости к сфере.

Ответ: Он перпендикулярен касательной плоскости.

6. Какую прямую называют касательной к сфере?

Касательной к сфере называют прямую, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая лежит в касательной плоскости, проведённой к сфере в этой же точке.

Ответ: Прямую, которая имеет со сферой ровно одну общую точку.

7. Каким свойством должна обладать плоскость, чтобы она являлась касательной плоскостью к сфере?

Это свойство является признаком касательной плоскости (обратная теорема). Плоскость является касательной к сфере, если она проходит через точку, лежащую на сфере, и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. То есть для того, чтобы плоскость была касательной, она должна быть перпендикулярна радиусу в его конечной точке на сфере.

Ответ: Плоскость должна проходить через точку на сфере и быть перпендикулярной радиусу, проведённому в эту точку.

8. Опишите, в каком случае говорят, что сферы касаются внешним (внутренним) образом.

Рассмотрим две сферы с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$. Пусть $d$ — расстояние между их центрами ($d = |O_1O_2|$).

• Сферы касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку, и при этом их центры лежат по разные стороны от этой точки. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

• Сферы касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку, и при этом одна сфера находится внутри другой. Это происходит, когда расстояние между центрами равно модулю разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$ (при условии, что $R_1 \neq R_2$).

Ответ: Сферы касаются внешним образом, если расстояние между их центрами равно сумме радиусов, и внутренним образом, если оно равно модулю разности радиусов.