Страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.19. Сфера радиуса $\sqrt{41}$ см проходит через вершины $B, C, C_1$ и середину ребра $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите ребро куба.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину D куба, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер DA, DC и DD₁ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат заданные точки, через которые проходит сфера, будут иметь следующие координаты: вершина $B(a, a, 0)$, вершина $C(0, a, 0)$, вершина $C_1(0, a, a)$. Найдем координаты середины M ребра $A_1D_1$. Координаты концов этого ребра: $A_1(a, 0, a)$ и $D_1(0, 0, a)$. Тогда середина M имеет координаты $M(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}) = M(\frac{a}{2}, 0, a)$.

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x, y, z)$. Радиус сферы по условию $R = \sqrt{41}$ см, следовательно, квадрат радиуса $R^2 = 41$. Уравнение сферы имеет вид: $(X-x)^2 + (Y-y)^2 + (Z-z)^2 = R^2$.

Так как все четыре точки (B, C, C₁, M) лежат на сфере, они равноудалены от ее центра. Расстояние от центра до каждой из этих точек равно радиусу. Запишем систему уравнений, приравняв квадраты этих расстояний к $R^2$:
(1) $OB^2 = (a-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = 41$
(2) $OC^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = 41$
(3) $OC_1^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + (a-z)^2 = 41$
(4) $OM^2 = (\frac{a}{2}-x)^2 + (0-y)^2 + (a-z)^2 = 41$

Приравняем левые части уравнений (1) и (2), так как они обе равны 41:
$(a-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + z^2$
$(a-x)^2 = x^2$
$a^2 - 2ax + x^2 = x^2$
$a^2 - 2ax = 0 \implies a(a - 2x) = 0$.
Так как $a$ — это длина ребра куба, $a \ne 0$. Следовательно, $a - 2x = 0$, откуда $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично приравняем левые части уравнений (2) и (3):
$(0-x)^2 + (a-y)^2 + z^2 = (0-x)^2 + (a-y)^2 + (a-z)^2$
$z^2 = (a-z)^2$
$z^2 = a^2 - 2az + z^2$
$a^2 - 2az = 0 \implies a(a - 2z) = 0$.
Так как $a \ne 0$, то $a - 2z = 0$, откуда $z = \frac{a}{2}$.

Теперь подставим найденные значения $x = \frac{a}{2}$ и $z = \frac{a}{2}$ в уравнения (3) и (4).
Из уравнения (3):
$(0-\frac{a}{2})^2 + (a-y)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 = 41$
$\frac{a^2}{4} + (a-y)^2 + \frac{a^2}{4} = 41 \implies \frac{a^2}{2} + (a-y)^2 = 41$ (5)
Из уравнения (4):
$(\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (0-y)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 = 41$
$0 + y^2 + (\frac{a}{2})^2 = 41 \implies y^2 + \frac{a^2}{4} = 41$ (6)

Из уравнения (6) выразим $y^2 = 41 - \frac{a^2}{4}$. Раскроем скобки в уравнении (5) и подставим в него это выражение:
$\frac{a^2}{2} + a^2 - 2ay + y^2 = 41$
$\frac{3a^2}{2} - 2ay + (41 - \frac{a^2}{4}) = 41$
$\frac{3a^2}{2} - \frac{a^2}{4} - 2ay = 41 - 41$
$\frac{6a^2 - a^2}{4} - 2ay = 0$
$\frac{5a^2}{4} - 2ay = 0$
$a(\frac{5a}{4} - 2y) = 0$
Так как $a \ne 0$, то $\frac{5a}{4} - 2y = 0$, откуда $y = \frac{5a}{8}$.

Наконец, подставим найденное выражение для $y$ в уравнение (6):
$(\frac{5a}{8})^2 + \frac{a^2}{4} = 41$
$\frac{25a^2}{64} + \frac{a^2}{4} = 41$
$\frac{25a^2}{64} + \frac{16a^2}{64} = 41$
$\frac{41a^2}{64} = 41$
$a^2 = 64$.

Поскольку $a$ — это длина ребра, $a > 0$, следовательно $a = 8$. Ребро куба равно 8 см.

Ответ: 8 см.

12.20. Найдите геометрическое место точек, удалённых на расстояние $d$

от данной сферы радиуса $r$.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Расстояние от произвольной точки $M$ пространства до этой сферы определяется как кратчайшее из расстояний от точки $M$ до точек на сфере. Это расстояние равно модулю разности расстояния от точки $M$ до центра сферы $O$ (обозначим его $\rho(M, O)$) и радиуса сферы $r$.

По условию задачи, мы ищем геометрическое место точек $M$, для которых расстояние до сферы равно $d$. Это можно записать в виде уравнения:

$|\rho(M, O) - r| = d$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\rho(M, O) - r = d \implies \rho(M, O) = r + d$

2) $\rho(M, O) - r = -d \implies \rho(M, O) = r - d$

Рассмотрим, какие множества точек задают эти уравнения.

Первое уравнение, $\rho(M, O) = r + d$, описывает множество всех точек, находящихся на расстоянии $r+d$ от центра $O$. Это сфера, концентрическая данной, с радиусом $R_1 = r + d$. Так как $r>0$ и по определению $d \ge 0$, радиус $R_1$ всегда положительный, и эта сфера всегда является частью искомого геометрического места.

Второе уравнение, $\rho(M, O) = r - d$, описывает множество точек, находящихся на расстоянии $r-d$ от центра $O$. Существование и вид этого множества зависят от соотношения между $r$ и $d$, поскольку расстояние не может быть отрицательным.

Проанализируем все возможные случаи.

1. Если $r > d$

В этом случае величина $r - d$ положительна. Следовательно, искомое геометрическое место точек состоит из двух объектов:
- Сферы с центром в $O$ и радиусом $R_1 = r + d$ (из первого уравнения).
- Сферы с центром в $O$ и радиусом $R_2 = r - d$ (из второго уравнения).
Таким образом, искомое множество — это объединение двух концентрических сфер.

2. Если $r = d$

В этом случае $r - d = 0$.
- Первое уравнение задает сферу с центром в $O$ и радиусом $R_1 = r + d = r + r = 2r$.
- Второе уравнение принимает вид $\rho(M, O) = 0$, что означает, что точка $M$ совпадает с центром $O$.
Таким образом, искомое множество состоит из сферы радиуса $2r$ и ее центра $O$.

3. Если $r < d$

В этом случае величина $r - d$ отрицательна.
- Первое уравнение, как и прежде, задает сферу с центром в $O$ и радиусом $R_1 = r + d$.
- Второе уравнение, $\rho(M, O) = r - d$, не имеет решений, так как расстояние не может быть отрицательным.
Следовательно, искомое множество — это только одна сфера.

Ответ: искомое геометрическое место точек зависит от соотношения между радиусом сферы $r$ и расстоянием $d$. Пусть центр данной сферы — точка $O$.
• Если $r > d$, то это две сферы с центром в точке $O$ и радиусами $r + d$ и $r - d$.
• Если $r = d$, то это сфера с центром в точке $O$ радиуса $2r$ и сама точка $O$.
• Если $r < d$, то это одна сфера с центром в точке $O$ и радиусом $r + d$.

12.21. Даны тетраэдр и некоторое положительное число. Найдите геометрическое место точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точки до вершин данного тетраэдра равна заданному числу.

Пусть $A_1, A_2, A_3, A_4$ — вершины данного тетраэдра, и пусть их радиус-векторы в некоторой системе координат равны $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}$ соответственно. Пусть $M$ — произвольная точка пространства с радиус-вектором $\vec{m}$. Заданное положительное число обозначим как $C$.

По условию задачи, сумма квадратов расстояний от точки $M$ до вершин тетраэдра равна $C$. Математически это можно записать так:

$|MA_1|^2 + |MA_2|^2 + |MA_3|^2 + |MA_4|^2 = C$

Используя радиус-векторы, это уравнение можно переписать в виде:

$|\vec{a_1} - \vec{m}|^2 + |\vec{a_2} - \vec{m}|^2 + |\vec{a_3} - \vec{m}|^2 + |\vec{a_4} - \vec{m}|^2 = C$

$\sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{m}|^2 = C$

Введем точку $O$ — центроид (центр масс) системы точек $A_1, A_2, A_3, A_4$. Радиус-вектор центроида $\vec{o}$ определяется как среднее арифметическое радиус-векторов вершин:

$\vec{o} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \vec{a_4}}{4}$

Теперь преобразуем выражение $|\vec{a_i} - \vec{m}|^2$, добавив и вычтя вектор $\vec{o}$:

$\vec{a_i} - \vec{m} = (\vec{a_i} - \vec{o}) + (\vec{o} - \vec{m})$

Возведем в квадрат (скалярный квадрат вектора):

$|\vec{a_i} - \vec{m}|^2 = |(\vec{a_i} - \vec{o}) + (\vec{o} - \vec{m})|^2 = |\vec{a_i} - \vec{o}|^2 + |\vec{o} - \vec{m}|^2 + 2(\vec{a_i} - \vec{o}) \cdot (\vec{o} - \vec{m})$

Просуммируем это выражение по всем $i$ от 1 до 4:

$\sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{m}|^2 = \sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{o}|^2 + \sum_{i=1}^{4} |\vec{o} - \vec{m}|^2 + 2 \sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o}) \cdot (\vec{o} - \vec{m})$

Рассмотрим каждое слагаемое в правой части:

1. $\sum_{i=1}^{4} |\vec{a_i} - \vec{o}|^2$ — это сумма квадратов расстояний от вершин тетраэдра до его центроида. Для данного тетраэдра это постоянная величина. Обозначим ее $S$.
2. $\sum_{i=1}^{4} |\vec{o} - \vec{m}|^2 = 4|\vec{o} - \vec{m}|^2 = 4|OM|^2$, так как $|\vec{o} - \vec{m}|^2$ не зависит от индекса $i$.
3. $2 \sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o}) \cdot (\vec{o} - \vec{m}) = 2(\vec{o} - \vec{m}) \cdot \sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o})$.
   Найдем сумму векторов $\sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o})$:
   $\sum_{i=1}^{4} \vec{a_i} - \sum_{i=1}^{4} \vec{o} = (\vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \vec{a_4}) - 4\vec{o}$.
   По определению центроида $4\vec{o} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \vec{a_4}$.
   Следовательно, $\sum_{i=1}^{4} (\vec{a_i} - \vec{o}) = \vec{0}$.
   Таким образом, третье слагаемое равно нулю.

Подставляя эти результаты в исходное уравнение, получаем:

$S + 4|OM|^2 = C$

Отсюда выразим $|OM|^2$:

$|OM|^2 = \frac{C - S}{4}$

Это уравнение описывает искомое геометрическое место точек $M$. Точка $O$ (центроид тетраэдра) и величина $S$ (сумма квадратов расстояний от вершин до центроида) являются фиксированными для данного тетраэдра. Величина $C$ — заданное положительное число.

Проанализируем полученное выражение:

• Если $C > S$, то $\frac{C - S}{4} > 0$. Обозначим $R^2 = \frac{C - S}{4}$. Тогда уравнение $|OM|^2 = R^2$ или $|OM|=R$ задает сферу с центром в центроиде тетраэдра $O$ и радиусом $R = \sqrt{\frac{C - S}{4}}$.
• Если $C = S$, то $|OM|^2 = 0$. Это означает, что точка $M$ совпадает с точкой $O$. Геометрическое место точек — одна точка, являющаяся центроидом тетраэдра.
• Если $C < S$, то $|OM|^2 < 0$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат расстояния не может быть отрицательным. В этом случае искомое геометрическое место точек является пустым множеством.

Ответ: Искомое геометрическое место точек зависит от соотношения между заданным числом $C$ и величиной $S = \sum_{i=1}^{4} |OA_i|^2$, где $O$ — центроид тетраэдра, а $A_i$ — его вершины.

1. Если $C > S$, то это сфера с центром в центроиде тетраэдра и радиусом $R = \sqrt{\frac{C - S}{4}}$.
2. Если $C = S$, то это одна точка — центроид тетраэдра.
3. Если $C < S$, то это пустое множество.

12.22. Центром сферы является точка пересечения диагоналей куба. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до точки сферы не зависит от выбора этой точки.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом координат. Поместим центр куба, который является точкой пересечения его диагоналей и, по условию, центром сферы, в начало прямоугольной системы координат $O(0, 0, 0)$.

Пусть длина ребра куба равна $s$. Тогда его вершины $V_i$ ($i=1, 2, ..., 8$) будут иметь координаты вида $(\pm \frac{s}{2}, \pm \frac{s}{2}, \pm \frac{s}{2})$. Обозначим радиус-векторы вершин как $\vec{v}_i$.

Пусть $P$ — произвольная точка на сфере. Обозначим ее радиус-вектор как $\vec{p}$. Поскольку центр сферы находится в начале координат, а ее радиус равен $R$, для любой точки $P$ на сфере выполняется условие $|\vec{p}|^2 = R^2$, где $R$ — константа.

Нам необходимо доказать, что сумма квадратов расстояний от всех вершин куба до точки $P$ не зависит от выбора $P$ на сфере. Запишем эту сумму, обозначив ее $S$:

$S = \sum_{i=1}^{8} |PV_i|^2$

Квадрат расстояния $|PV_i|$ — это квадрат длины вектора $\vec{PV_i} = \vec{v}_i - \vec{p}$. Используя свойства скалярного произведения, получаем:

$|PV_i|^2 = |\vec{v}_i - \vec{p}|^2 = (\vec{v}_i - \vec{p}) \cdot (\vec{v}_i - \vec{p}) = |\vec{v}_i|^2 - 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для $S$:

$S = \sum_{i=1}^{8} (|\vec{v}_i|^2 - 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2)$

Разложим сумму на три части:

$S = \sum_{i=1}^{8} |\vec{v}_i|^2 - \sum_{i=1}^{8} 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p}) + \sum_{i=1}^{8} |\vec{p}|^2$

Проанализируем каждое слагаемое:

1. $\sum_{i=1}^{8} |\vec{v}_i|^2$. Величина $|\vec{v}_i|^2$ — это квадрат расстояния от центра куба до $i$-й вершины. Это расстояние одинаково для всех вершин. Оно равно $(\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 + (\frac{s}{2})^2 = \frac{3s^2}{4}$. Так как у куба 8 вершин, то сумма равна $8 \cdot \frac{3s^2}{4} = 6s^2$. Это значение является константой, так как зависит только от размера куба.
2. $\sum_{i=1}^{8} 2(\vec{v}_i \cdot \vec{p})$. Вынесем общий множитель и воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения: $2\left(\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i\right) \cdot \vec{p}$. Сумма радиус-векторов вершин куба $\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i$ равна нулевому вектору, так как для каждой вершины с вектором $\vec{v}_i$ существует симметричная ей относительно начала координат вершина с вектором $-\vec{v}_i$. Таким образом, $\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i = \vec{0}$. Следовательно, все слагаемое равно $2(\vec{0} \cdot \vec{p}) = 0$.
3. $\sum_{i=1}^{8} |\vec{p}|^2$. Мы уже установили, что для любой точки $P$ на сфере $|\vec{p}|^2 = R^2$. Суммируя это значение 8 раз (по числу вершин), получаем $8R^2$. Это значение также является константой, так как зависит только от радиуса сферы.

Собрав все части вместе, получаем итоговое выражение для суммы $S$:

$S = 6s^2 - 0 + 8R^2 = 6s^2 + 8R^2$

Как видим, итоговая сумма зависит только от постоянных величин — размера ребра куба $s$ и радиуса сферы $R$, и не зависит от положения точки $P$ на сфере. Это доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов расстояний от вершин куба до точки на сфере является постоянной величиной, равной $6s^2 + 8R^2$, где $s$ — длина ребра куба, а $R$ — радиус сферы, и не зависит от выбора точки на сфере.

12.23. Для данного тетраэдра укажите точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного тетраэдра наименьшая.

Пусть вершины тетраэдра обозначены точками $A$, $B$, $C$ и $D$. Введем декартову систему координат. Координаты вершин: $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$ и $D(x_D, y_D, z_D)$. Пусть искомая точка — это $M(x, y, z)$.

Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины, например $A$, вычисляется по формуле:

$MA^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2$

Нам нужно найти точку $M$, для которой сумма квадратов расстояний до всех вершин будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S(M)$:

$S(M) = MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2$

Подставив выражения для квадратов расстояний, получим функцию трех переменных $x, y, z$:

$S(x, y, z) = ((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2) + ((x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (z - z_B)^2) + ((x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2) + ((x - x_D)^2 + (y - y_D)^2 + (z - z_D)^2)$

Чтобы найти минимум этой функции, можно найти ее частные производные по $x, y$ и $z$ и приравнять их к нулю. Заметим, что функция $S(x, y, z)$ является суммой трех независимых функций: одна зависит только от $x$, вторая — только от $y$, а третья — только от $z$. То есть $S(x, y, z) = S_x(x) + S_y(y) + S_z(z)$, где, например, $S_x(x) = (x - x_A)^2 + (x - x_B)^2 + (x - x_C)^2 + (x - x_D)^2$. Для нахождения минимума $S(x, y, z)$ достаточно найти минимумы каждой из этих функций по отдельности.

Найдем производную функции $S_x(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dS_x}{dx} = 2(x - x_A) + 2(x - x_B) + 2(x - x_C) + 2(x - x_D) = 0$

Разделив на 2, получим:

$(x - x_A) + (x - x_B) + (x - x_C) + (x - x_D) = 0$

$4x - (x_A + x_B + x_C + x_D) = 0$

$x = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}$

Аналогично для переменных $y$ и $z$ получаем:

$y = \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}$

$z = \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}$

Точка $M$ с такими координатами является точкой, минимизирующей сумму квадратов расстояний. Координаты этой точки являются средним арифметическим координат вершин тетраэдра. Эта точка известна как центроид (или центр масс) тетраэдра.

Геометрически центроид тетраэдра — это точка пересечения его медиан. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани. Все четыре медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Также центроид является точкой пересечения трех бимедиан тетраэдра (отрезков, соединяющих середины скрещивающихся ребер), причем он является серединой каждой из них.

Ответ: Искомая точка — это центроид (центр масс) данного тетраэдра, который является точкой пересечения его медиан.

12.24. Даны точки $A$ и $B$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что $XA = 2XB$.

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть точки A и B лежат на оси Ox. Для удобства вычислений поместим точку B в начало координат, а точку A — в точку с положительной координатой. Пусть расстояние между точками A и B равно $d$, т.е. $|AB| = d$. Тогда координаты точек будут $B(0, 0)$ и $A(d, 0)$.

Пусть $X(x, y)$ — произвольная точка искомого геометрического места. Расстояние от точки X до точки A, обозначаемое $XA$, и расстояние от точки X до точки B, обозначаемое $XB$, вычисляются по формуле расстояния между двумя точками:

$XA = \sqrt{(x - d)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - d)^2 + y^2}$

$XB = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Согласно условию задачи, $XA = 2XB$. Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат:

$XA^2 = (2XB)^2$

$XA^2 = 4XB^2$

Подставим выражения для квадратов расстояний:

$(x - d)^2 + y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2dx + d^2 + y^2 = 4x^2 + 4y^2$

$3x^2 + 2dx + 3y^2 - d^2 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 + \frac{2d}{3}x + y^2 - \frac{d^2}{3} = 0$

Данное уравнение является уравнением окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{d}{3} + (\frac{d}{3})^2) - (\frac{d}{3})^2 + y^2 - \frac{d^2}{3} = 0$

$(x + \frac{d}{3})^2 + y^2 = \frac{d^2}{9} + \frac{d^2}{3}$

$(x + \frac{d}{3})^2 + y^2 = \frac{d^2}{9} + \frac{3d^2}{9}$

$(x + \frac{d}{3})^2 + y^2 = \frac{4d^2}{9}$

Полученное уравнение — это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Из нашего уравнения следует, что центр окружности $O$ имеет координаты $(-\frac{d}{3}, 0)$, а радиус $R = \sqrt{\frac{4d^2}{9}} = \frac{2d}{3}$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек X — это окружность. Определим ее положение относительно точек A и B. Центр окружности $O(-\frac{d}{3}, 0)$ лежит на прямой, проходящей через точки $A(d, 0)$ и $B(0, 0)$, то есть на прямой AB. Так как координата центра $x_0 = -\frac{d}{3}$ является отрицательной, а координата точки B равна 0, центр O находится на продолжении отрезка BA за точку B. Расстояние от центра O до точки B равно $|0 - (-\frac{d}{3})| = \frac{d}{3}$. Так как $d = |AB|$, то расстояние от центра до точки B равно $\frac{1}{3}|AB|$. Радиус окружности равен $\frac{2d}{3}$, то есть $\frac{2}{3}|AB|$.

Такая окружность известна как окружность Аполлония.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром $O$ на прямой $AB$ и радиусом $R$. Центр $O$ расположен на продолжении отрезка $BA$ за точку $B$ на расстоянии $\frac{1}{3}|AB|$ от точки $B$. Радиус окружности $R = \frac{2}{3}|AB|$.

12.25. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания окружностей до их общей внешней касательной.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R$ и $r$ — их радиусы соответственно. По условию, $R = 9$ см, а $r = 3$ см. Пусть $T$ — точка внешнего касания окружностей. Точки $O_1$, $T$, $O_2$ лежат на одной прямой (линии центров), и расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 9 + 3 = 12$ см. Точка $T$ делит отрезок $O_1O_2$ на части, равные радиусам: $O_1T = R = 9$ см и $TO_2 = r = 3$ см.

Пусть общая внешняя касательная касается окружностей в точках $A$ и $B$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу. Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R = 9$ см и $O_2B = r = 3$ см.

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $TH$, опущенного из точки $T$ на прямую $AB$. Так как $TH \perp AB$, то отрезок $TH$ параллелен основаниям трапеции $O_1A$ и $O_2B$.

Длину отрезка $TH$, который параллелен основаниям трапеции и проходит через точку $T$ на боковой стороне $O_1O_2$, можно найти по формуле. Если точка $T$ делит боковую сторону на отрезки $m=O_1T$ и $n=TO_2$, а основания трапеции равны $a=O_1A$ и $b=O_2B$, то длина отрезка $TH$ вычисляется как: $TH = \frac{a \cdot n + b \cdot m}{m+n}$

В данном случае $a=R=9$, $b=r=3$, $m=O_1T=R=9$, $n=TO_2=r=3$. Подставляем эти значения в формулу: $TH = \frac{O_1A \cdot TO_2 + O_2B \cdot O_1T}{O_1T + TO_2} = \frac{R \cdot r + r \cdot R}{R+r} = \frac{2Rr}{R+r}$

Выполним вычисления: $TH = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3}{9 + 3} = \frac{54}{12} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

12.26. Найдите длину окружности, описанной около равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 8 см и высотой 7 см.

Для нахождения длины окружности $L$ необходимо сначала найти ее радиус $R$. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

Поскольку окружность описана около равнобокой трапеции, все ее вершины лежат на этой окружности. Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник $ABD$, где $AD$ — большее основание трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=8$ см и $BC=6$ см, и высотой $h=7$ см.

Сначала найдем длину боковой стороны трапеции. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Далее найдем длину диагонали трапеции $BD$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $BH$ равен высоте трапеции, $BH=7$ см. Длина второго катета $HD$ равна:

$HD = AD - AH = 8 - 1 = 7$ см.

По теореме Пифагора найдем диагональ $BD$:

$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $ABD$: $AD = 8$ см, $AB = 5\sqrt{2}$ см, $BD = 7\sqrt{2}$ см. Радиус $R$ описанной около треугольника окружности находится по формуле $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника $ABD$ можно найти, зная его основание $AD$ и высоту, проведенную к нему (которая равна высоте трапеции $h$):

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$ см$^2$.

Вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AD \cdot AB \cdot BD}{4S_{ABD}} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2}}{4 \cdot 28} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (\sqrt{2})^2}{112} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2}{112} = \frac{560}{112} = 5$ см.

Наконец, найдем искомую длину окружности:

$L = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Ответ: $10\pi$ см.