Страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Так как конус вписан в правильную треугольную пирамиду, его основание является окружностью, вписанной в основание пирамиды (правильный треугольник со стороной $a$), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$. Этот радиус находится по формуле:$R = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Образующая конуса $L$ совпадает с апофемой (высотой боковой грани) пирамиды. Для ее нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, ее апофемой и радиусом вписанной в основание окружности. В этом треугольнике апофема является гипотенузой, а радиус — одним из катетов. Угол между апофемой и радиусом, проведенным к ее основанию, является линейным углом двугранного угла при ребре основания, который по условию равен $\alpha$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\cos(\alpha) = \frac{R}{L}$.

Отсюда выражаем образующую $L$:$L = \frac{R}{\cos(\alpha)}$.

Подставим найденное ранее выражение для $R$:$L = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Теперь, зная $R$ и $L$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi \cdot a^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{36\cos(\alpha)} = \frac{3\pi a^2}{36\cos(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{12\cos(\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2}{12\cos(\alpha)}$.

11.9. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$. Конус, вписанный в эту пирамиду, имеет ту же вершину и высоту, что и пирамида, а его основание представляет собой круг, вписанный в квадратное основание пирамиды.

Радиус $r$ круга, вписанного в квадрат со стороной $a$, равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $d$, а высота — высоте конуса $H$. Основание этого треугольника (диаметр конуса) равно $d = 2r = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$. Высота этого треугольника $H$ равна высоте пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды $H$ воспользуемся данным двугранным углом при ребре основания, который равен $\alpha$. Этот угол является углом между апофемой боковой грани и проекцией апофемы на основание. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна радиусу вписанной в основание окружности, то есть $\frac{a}{2}$.

В этом прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота пирамиды $H$, а прилежащий катет — это отрезок длиной $\frac{a}{2}$. Таким образом, мы можем записать: $\tan \alpha = \frac{H}{a/2}$ Отсюда выразим высоту $H$: $H = \frac{a}{2} \tan \alpha$.

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ вычисляется как площадь треугольника с основанием $d=a$ и высотой $H$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2} \tan \alpha\right) = \frac{a^2 \tan \alpha}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2}{4} \tan \alpha$.

11.10. Около конуса описана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — его образующая. Для решения задачи нам необходимо найти эти две величины.

Так как правильная четырёхугольная пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат). Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Сторона квадрата в основании пирамиды равна $a$. Поскольку окружность вписана в этот квадрат, её диаметр равен стороне квадрата, то есть $2r = a$. Отсюда находим радиус основания конуса:
$r = \frac{a}{2}$.

Теперь найдём высоту конуса $H$, которая совпадает с высотой пирамиды. По условию, боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и проекция бокового ребра на основание, а гипотенузой — само боковое ребро.

Проекцией бокового ребра на основание является отрезок, соединяющий центр квадрата с его вершиной, то есть половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Значит, длина проекции равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В упомянутом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($H$) к прилежащему (проекции бокового ребра):
$\tan(\alpha) = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Выразим отсюда высоту $H$:
$H = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой другого прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота конуса $H$ и радиус его основания $r$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + r^2$.
Подставим найденные значения $H$ и $r$:
$l^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} \tan^2(\alpha) + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} (2 \tan^2(\alpha) + 1)$.
Отсюда находим образующую:
$l = \sqrt{\frac{a^2(1 + 2 \tan^2(\alpha))}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)}$.

Наконец, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, подставив в формулу найденные $r$ и $l$:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{4} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4} \sqrt{1 + 2 \tan^2(\alpha)}$.

11.11. Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

Поскольку правильная треугольная пирамида описана около конуса, их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (правильный треугольник).

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основание пирамиды – это правильный треугольник со стороной $a$. Радиус вписанной в него окружности (который и является радиусом основания конуса) находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Найдем образующую конуса $l$.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $r$. По теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + r^2}$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Найдем ее, используя угол $\alpha$, который боковое ребро образует с плоскостью основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекцией бокового ребра является радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Из определения тангенса угла $\alpha$ в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \alpha = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту $H$:

$H = R \cdot \tan \alpha = \frac{a\sqrt{3}}{3} \tan \alpha$

Теперь, зная $H$ и $r$, найдем образующую $l$:

$l^2 = H^2 + r^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3} \tan \alpha\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2$

$l^2 = \frac{3a^2}{9} \tan^2 \alpha + \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2}{3} \tan^2 \alpha + \frac{a^2}{12}$

Приведем к общему знаменателю:

$l^2 = a^2 \left(\frac{4\tan^2 \alpha}{12} + \frac{1}{12}\right) = a^2 \frac{4\tan^2 \alpha + 1}{12}$

Тогда образующая равна:

$l = \sqrt{a^2 \frac{4\tan^2 \alpha + 1}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные значения $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}\right)$

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{36} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1} = \pi \cdot \frac{3a^2}{36} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

Сократив дробь, получаем окончательный результат:

$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{12} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

11.12. Основание пирамиды — прямоугольник, меньшая из сторон которого равна $a$, а угол между диагоналями равен $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Поскольку конус описан около пирамиды, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, описанной около основания пирамиды (прямоугольника).

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке O. Тогда $R$ равен длине отрезка AO. Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей, а AB — меньшая сторона прямоугольника, равная $a$. Стороны $OA = OB = R$. Угол между диагоналями $\alpha$ является углом при вершине O этого треугольника ($\angle AOB = \alpha$), так как он лежит напротив меньшей стороны $a$.

Проведем в треугольнике AOB высоту OM к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, высота OM является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AM = \frac{a}{2}$ и $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника AMO имеем:

$\sin(\angle AOM) = \frac{AM}{AO}$

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выразим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}$

2. Найдем образующую конуса $L$.

По условию все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды S проецируется в центр описанной окружности основания, то есть в точку O. Образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды (например, SA).

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где SO — высота пирамиды, OA — проекция ребра SA на плоскость основания, $OA = R$. Угол наклона бокового ребра к основанию — это угол между ребром и его проекцией, то есть $\angle SAO = \beta$.

Из треугольника SOA:

$\cos(\beta) = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{L}$

Отсюда выразим образующую $L$:

$L = \frac{R}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные выражения для $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi R L = \pi R \cdot \frac{R}{\cos(\beta)} = \frac{\pi R^2}{\cos(\beta)}$

Теперь подставим выражение для $R$:

$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \left( \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha/2)}$

$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4 \cos(\beta) \sin^2(\alpha/2)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4 \cos(\beta) \sin^2(\alpha/2)}$

11.13. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет $AC = b$, а прилежащий к нему острый угол $\angle BAC = \alpha$.

По условию, все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ — середина гипотенузы $AB$. Радиус $R$ этой окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{AB}{2}$.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину $S$ и в его основании лежит окружность, описанная около треугольника $ABC$. Таким образом, радиус основания конуса равен $R$, а образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды (например, $SA$).

Найдем радиус основания конуса $R$. Из прямоугольного треугольника $ABC$:
Гипотенуза $AB$ находится из соотношения $cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{AB}$, откуда $AB = \frac{b}{cos(\alpha)}$.
Тогда радиус описанной окружности (и радиус основания конуса) равен:
$R = \frac{AB}{2} = \frac{b}{2cos(\alpha)}$.

Теперь найдем образующую конуса $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ — высота пирамиды, $OA = R$ — проекция бокового ребра $SA$ на плоскость основания. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром и его проекцией, то есть $\angle SAO = \phi$.
Из треугольника $SOA$ имеем: $cos(\phi) = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{L}$.
Отсюда выразим образующую $L$: $L = \frac{R}{cos(\phi)}$.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.
Подставим в эту формулу выражение для $L$:
$S_{бок} = \pi R \cdot \frac{R}{cos(\phi)} = \frac{\pi R^2}{cos(\phi)}$.
Теперь подставим найденное выражение для $R$:
$S_{бок} = \frac{\pi}{cos(\phi)} \left( \frac{b}{2cos(\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi}{cos(\phi)} \cdot \frac{b^2}{4cos^2(\alpha)} = \frac{\pi b^2}{4cos^2(\alpha)cos(\phi)}$.

Ответ: $\frac{\pi b^2}{4cos^2(\alpha)cos(\phi)}$

11.14. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей.

Так как конус описан около данной пирамиды, его основанием является окружность, описанная около основания пирамиды, а его образующими служат боковые рёбра пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ – это радиус окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды, а образующая конуса $l$ – это длина бокового ребра пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Основание пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащими к нему углами $\alpha$. Угол, противолежащий стороне $a$, равен $180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$. По теореме синусов для этого треугольника, радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле:$2R = \frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)}$Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:$2R = \frac{a}{\sin(2\alpha)}$Отсюда радиус равен:$R = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$

2. Найдем длину образующей конуса $l$.
Все боковые рёбра пирамиды (образующие конуса) наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что высота пирамиды (и конуса) проецируется в центр описанной окружности основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, $R$ — катетом, а $\beta$ — угол между гипотенузой $l$ и катетом $R$. Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:$\cos(\beta) = \frac{R}{l}$Отсюда выразим длину образующей:$l = \frac{R}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.
Подставим найденные выражения для $R$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi R l = \pi R \cdot \frac{R}{\cos(\beta)} = \frac{\pi R^2}{\cos(\beta)}$Теперь подставим значение $R$:$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \left( \frac{a}{2\sin(2\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(2\alpha)}$$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(2\alpha)}$

11.15. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна $ \frac{5\sqrt{87}}{8} $ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса.

Так как конус описан около пирамиды, то основание конуса — это окружность, описанная около треугольника, который является основанием пирамиды. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а их высоты равны.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника со сторонами $a=13$ см, $b=14$ см и $c=15$ см. Найдем площадь этого треугольника по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.
Вычислим полупериметр:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².
Радиус описанной окружности найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$ см.

2. Найдем образующую конуса $l$.
Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды: $H = \frac{5\sqrt{87}}{8}$ см.
Образующую, высоту и радиус основания конуса связывает теорема Пифагора: $l^2 = R^2 + H^2$.
$l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{(\frac{65}{8})^2 + (\frac{5\sqrt{87}}{8})^2} = \sqrt{\frac{4225}{64} + \frac{25 \cdot 87}{64}} = \sqrt{\frac{4225 + 2175}{64}} = \sqrt{\frac{6400}{64}} = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Теперь, зная радиус $R$ и образующую $l$, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \frac{650\pi}{8} = \frac{325\pi}{4}$ см².

Ответ: $\frac{325\pi}{4}$ см².

11.16. Докажите, что если в пирамиду $MABCD$ можно вписать конус, то сумма площадей граней $AMB$ и $CMD$ равна сумме площадей граней $AMD$ и $BMC$.

Пусть в пирамиду $MABCD$ вписан конус. Это означает, что основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (четырехугольник $ABCD$), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды $M$.

1. Свойство основания. Так как в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность, он является описанным четырехугольником. Основное свойство описанного четырехугольника (теорема Пиго) заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + DA$

2. Свойство боковых граней. Условие, что в пирамиду можно вписать конус, означает, что все ее боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Геометрически это значит, что высоты всех боковых граней, проведенные из вершины $M$ к сторонам основания (эти высоты называются апофемами пирамиды), равны между собой. Обозначим длину этой общей апофемы буквой $l$.

3. Площади граней. Площадь каждой боковой грани (треугольника) равна половине произведения ее основания (стороны четырехугольника $ABCD$) на высоту (апофему $l$).

$S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot l$

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l$

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot l$

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l$

4. Сравнение сумм площадей. Теперь вычислим суммы площадей противолежащих боковых граней:

Сумма площадей граней $AMB$ и $CMD$:

$S_{AMB} + S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot l + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l = \frac{1}{2} l (AB + CD)$

Сумма площадей граней $AMD$ и $BMC$:

$S_{AMD} + S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot l + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l = \frac{1}{2} l (AD + BC)$

Используя свойство основания из пункта 1 ($AB + CD = BC + DA$), мы видим, что правые части выражений для сумм площадей равны:

$\frac{1}{2} l (AB + CD) = \frac{1}{2} l (AD + BC)$

Отсюда следует, что и левые части равны:

$S_{AMB} + S_{CMD} = S_{AMD} + S_{BMC}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если в пирамиду $MABCD$ можно вписать конус, то сумма площадей граней $AMB$ и $CMD$ равна сумме площадей граней $AMD$ и $BMC$.

11.17. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $α$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $m$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Центр основания — точка $O$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABC$ является равносторонним треугольником, а высота пирамиды $SO$ проецируется в центр основания $O$.

Конус, вписанный в данную пирамиду, имеет ту же вершину $S$ и ту же высоту $SO$, что и пирамида. Основанием конуса является круг, вписанный в треугольник $ABC$. Радиус $r$ этого круга является радиусом вписанной в основание окружности. Образующая конуса $L$ является апофемой боковой грани пирамиды, так как боковые грани пирамиды касаются конуса по его образующим.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = \pi r L$. Для решения задачи нам необходимо найти радиус $r$ и образующую $L$ конуса.

Проведем апофему $SM$ боковой грани $SBC$, где $M$ — середина ребра $BC$. Отрезок $OM$ соединяет центр основания с серединой стороны, поэтому $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Таким образом, $r = OM$. Кроме того, $SM$ — апофема боковой грани, значит, $L = SM$.

Двугранный угол при ребре основания $BC$ — это угол между плоскостями основания $(ABC)$ и боковой грани $(SBC)$. Так как $OM \perp BC$ (как радиус, проведенный в точку касания) и $SM \perp BC$ (как апофема), то линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, т.е. $SO \perp OM$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $SBC$ по условию равно $m$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SBC)$. Так как плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$ (поскольку проходит через прямую $SM$, перпендикулярную их линии пересечения $BC$), то перпендикуляр из точки $O$ на плоскость $(SBC)$ будет лежать в плоскости $(SOM)$. Пусть $OK$ — этот перпендикуляр, где $K$ лежит на $SM$. Тогда $OK = m$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $\triangle SOM$, проведенная к гипотенузе $SM$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$ (прямой угол при $K$). В этом треугольнике нам известны катет $OK = m$ и угол $\angle KMO = \alpha$. Гипотенуза этого треугольника — $OM = r$. Из определения синуса угла:$\sin(\alpha) = \frac{OK}{OM} = \frac{m}{r}$Отсюда находим радиус основания конуса:$r = \frac{m}{\sin(\alpha)}$

Далее найдем образующую конуса $L=SM$. Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SOM$. В нем известен катет $OM = r$ и прилежащий к нему острый угол $\angle SMO = \alpha$. Гипотенуза этого треугольника — $SM = L$. Из определения косинуса угла:$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{r}{L}$Отсюда выражаем образующую $L$:$L = \frac{r}{\cos(\alpha)}$Подставим ранее найденное выражение для $r$:$L = \frac{m/\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{m}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса, подставив найденные значения $r$ и $L$ в формулу $S_{\text{бок}} = \pi r L$:$S_{\text{бок}} = \pi \cdot \left(\frac{m}{\sin(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{m}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi m^2}{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2}{\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$