Номер 11.14, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.14. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей.

Так как конус описан около данной пирамиды, его основанием является окружность, описанная около основания пирамиды, а его образующими служат боковые рёбра пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ – это радиус окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды, а образующая конуса $l$ – это длина бокового ребра пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Основание пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащими к нему углами $\alpha$. Угол, противолежащий стороне $a$, равен $180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$. По теореме синусов для этого треугольника, радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле:$2R = \frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)}$Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:$2R = \frac{a}{\sin(2\alpha)}$Отсюда радиус равен:$R = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$

2. Найдем длину образующей конуса $l$.
Все боковые рёбра пирамиды (образующие конуса) наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что высота пирамиды (и конуса) проецируется в центр описанной окружности основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, $R$ — катетом, а $\beta$ — угол между гипотенузой $l$ и катетом $R$. Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:$\cos(\beta) = \frac{R}{l}$Отсюда выразим длину образующей:$l = \frac{R}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.
Подставим найденные выражения для $R$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi R l = \pi R \cdot \frac{R}{\cos(\beta)} = \frac{\pi R^2}{\cos(\beta)}$Теперь подставим значение $R$:$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \left( \frac{a}{2\sin(2\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(2\alpha)}$$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(2\alpha)}$