Номер 11.19, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.19. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите площадь осевого сечения данного конуса.

Поскольку пирамида описана около конуса, основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб), а их вершины совпадают. Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды, а радиус основания конуса $r$ является радиусом окружности, вписанной в ромб.

Найдем радиус $r$ окружности, вписанной в ромб. Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба $h$. Высота ромба со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Тогда радиус вписанной окружности (и радиус основания конуса) равен:

$r = \frac{h}{2} = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}$

Так как все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $r$ и апофемой боковой грани пирамиды (которая является образующей конуса в точке касания). В этом треугольнике угол между радиусом $r$ и апофемой равен данному двугранному углу $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\beta) = \frac{H}{r}$

Отсюда выразим высоту конуса $H$:

$H = r \cdot \tan(\beta) = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} \cdot \tan(\beta)$

Площадь осевого сечения конуса $S_{сеч}$ — это площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно диаметру основания конуса $D = 2r$, а высота равна высоте конуса $H$.

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = r \cdot H$

Подставим найденные выражения для $r$ и $H$:

$S_{сеч} = \left(\frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}\right) \cdot \left(\frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2} \cdot \tan(\beta)\right) = \frac{a^2 \cdot \sin^2(\alpha) \cdot \tan(\beta)}{4}$

Ответ: $\frac{a^2 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)}{4}$