Номер 11.13, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.13. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть катет $AC = b$, а прилежащий к нему острый угол $\angle BAC = \alpha$.

По условию, все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ — середина гипотенузы $AB$. Радиус $R$ этой окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{AB}{2}$.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину $S$ и в его основании лежит окружность, описанная около треугольника $ABC$. Таким образом, радиус основания конуса равен $R$, а образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды (например, $SA$).

Найдем радиус основания конуса $R$. Из прямоугольного треугольника $ABC$:
Гипотенуза $AB$ находится из соотношения $cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{AB}$, откуда $AB = \frac{b}{cos(\alpha)}$.
Тогда радиус описанной окружности (и радиус основания конуса) равен:
$R = \frac{AB}{2} = \frac{b}{2cos(\alpha)}$.

Теперь найдем образующую конуса $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ — высота пирамиды, $OA = R$ — проекция бокового ребра $SA$ на плоскость основания. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром и его проекцией, то есть $\angle SAO = \phi$.
Из треугольника $SOA$ имеем: $cos(\phi) = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{L}$.
Отсюда выразим образующую $L$: $L = \frac{R}{cos(\phi)}$.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.
Подставим в эту формулу выражение для $L$:
$S_{бок} = \pi R \cdot \frac{R}{cos(\phi)} = \frac{\pi R^2}{cos(\phi)}$.
Теперь подставим найденное выражение для $R$:
$S_{бок} = \frac{\pi}{cos(\phi)} \left( \frac{b}{2cos(\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi}{cos(\phi)} \cdot \frac{b^2}{4cos^2(\alpha)} = \frac{\pi b^2}{4cos^2(\alpha)cos(\phi)}$.

Ответ: $\frac{\pi b^2}{4cos^2(\alpha)cos(\phi)}$