Номер 11.11, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.11. Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

Поскольку правильная треугольная пирамида описана около конуса, их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (правильный треугольник).

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основание пирамиды – это правильный треугольник со стороной $a$. Радиус вписанной в него окружности (который и является радиусом основания конуса) находится по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Найдем образующую конуса $l$.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $r$. По теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + r^2}$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Найдем ее, используя угол $\alpha$, который боковое ребро образует с плоскостью основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекцией бокового ребра является радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Из определения тангенса угла $\alpha$ в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \alpha = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту $H$:

$H = R \cdot \tan \alpha = \frac{a\sqrt{3}}{3} \tan \alpha$

Теперь, зная $H$ и $r$, найдем образующую $l$:

$l^2 = H^2 + r^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3} \tan \alpha\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2$

$l^2 = \frac{3a^2}{9} \tan^2 \alpha + \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2}{3} \tan^2 \alpha + \frac{a^2}{12}$

Приведем к общему знаменателю:

$l^2 = a^2 \left(\frac{4\tan^2 \alpha}{12} + \frac{1}{12}\right) = a^2 \frac{4\tan^2 \alpha + 1}{12}$

Тогда образующая равна:

$l = \sqrt{a^2 \frac{4\tan^2 \alpha + 1}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные значения $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}\right)$

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{36} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1} = \pi \cdot \frac{3a^2}{36} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

Сократив дробь, получаем окончательный результат:

$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{12} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12} \sqrt{4\tan^2 \alpha + 1}$