Номер 11.4, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 12 см. Вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды, необходимо определить его радиус основания $R$ и длину образующей $l$. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$.

Поскольку конус описан около пирамиды, его основанием является круг, описанный около основания пирамиды (прямоугольного треугольника), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы, а радиус $R$ этой окружности равен половине гипотенузы. Этот радиус и будет радиусом основания конуса.
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Найдем образующую конуса $l$.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Из условия известно, что вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы, то есть в центр основания конуса. Следовательно, высота конуса $H = 12$ см.
Образующая конуса $l$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. Найдем $l$ по теореме Пифагора:
$l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$.
Теперь, зная радиус $R = 5$ см и образующую $l = 13$ см, подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ см$^2$.

Ответ: $65\pi$ см$^2$.