Номер 10.25, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.25. Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, а угол между диагоналями равен 60°. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $BC = 3$ см, $AD = 5$ см. Пусть диагональ $AC = 8$ см, а вторая диагональ равна $BD$. Угол между диагоналями равен $60^\circ$. Периметр трапеции $P = AB + BC + CD + AD$. Для его нахождения нужно найти длины боковых сторон $AB$ и $CD$.

Для решения задачи применим метод дополнительного построения. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем:

• $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$, а точка $E$ лежит на продолжении $AD$).
• $CE \parallel BD$ (по построению).

Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC = 3$ см и $CE = BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны:

• $AC = 8$ см (по условию).
• $AE = AD + DE = 5 + 3 = 8$ см.
• $CE$ — длина второй диагонали.

Угол $\angle ACE$ равен углу между прямыми $AC$ и $CE$. Так как $CE \parallel BD$, то угол $\angle ACE$ равен углу между диагоналями трапеции $AC$ и $BD$. По условию этот угол равен $60^\circ$ (или смежный с ним $120^\circ$).

Таким образом, в треугольнике $ACE$ мы знаем две стороны $AC=8$ и $AE=8$ и угол между ними $\angle CAE$ или угол напротив стороны $AE$, $\angle ACE=60^\circ$ или $120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ACE$, чтобы найти длину стороны $CE$ (которая равна второй диагонали $BD$).

Случай 1: Угол между диагоналями $\angle ACE = 60^\circ$.

По теореме косинусов для стороны $AE$:

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos(\angle ACE)$

$8^2 = 8^2 + CE^2 - 2 \cdot 8 \cdot CE \cdot \cos(60^\circ)$

$64 = 64 + CE^2 - 16 \cdot CE \cdot \frac{1}{2}$

$0 = CE^2 - 8 \cdot CE$

$CE(CE - 8) = 0$

Так как длина стороны $CE$ не может быть равна нулю, то $CE = 8$ см.

Случай 2: Угол между диагоналями $\angle ACE = 120^\circ$.

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos(120^\circ)$

$8^2 = 8^2 + CE^2 - 2 \cdot 8 \cdot CE \cdot (-\frac{1}{2})$

$0 = CE^2 + 8 \cdot CE$

$CE(CE + 8) = 0$

Это уравнение имеет единственный неотрицательный корень $CE=0$, что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

Итак, мы установили, что вторая диагональ $BD = CE = 8$ см. Поскольку диагонали трапеции равны ($AC = BD = 8$ см), трапеция является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Теперь найдем длину боковой стороны. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$.

Точка $O$ делит диагонали в этом же отношении: $\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{3}{5}$.

Найдем длины отрезков диагоналей:

$AC = AO + CO = 8$. Так как $CO = \frac{3}{5}AO$, получаем $AO + \frac{3}{5}AO = 8 \implies \frac{8}{5}AO = 8 \implies AO = 5$ см. Тогда $CO = 3$ см.

$BD = BO + DO = 8$. Так как $BO = \frac{3}{5}DO$, получаем $DO + \frac{3}{5}DO = 8 \implies \frac{8}{5}DO = 8 \implies DO = 5$ см. Тогда $BO = 3$ см.

Острый угол между диагоналями равен $60^\circ$, значит, $\angle AOD = 60^\circ$ или $\angle AOB = 60^\circ$. Если $\angle AOD = 60^\circ$, то в $\triangle AOD$ по теореме косинусов: $AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(60^\circ) = 5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cdot\frac{1}{2}=25+25-25=25$. $AD=5$. Это соответствует условию. Значит, $\angle AOD = 60^\circ$, а смежный с ним угол $\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ и найдем сторону $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$

$AB^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AB^2 = 34 + 15 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

Так как трапеция равнобедренная, $CD = AB = 7$ см.

Теперь можем найти периметр трапеции:

$P = AB + BC + CD + AD = 7 + 3 + 7 + 5 = 22$ см.

Ответ: $22$ см.