Номер 10.18, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.18. Образующая усечённого конуса равна $m$ и составляет с плоскостью большего основания угол $\alpha$, а диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — диаметры большего и меньшего оснований соответственно, а $AB$ и $CD$ — образующие.

Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. Тогда $AD = 2R$ и $BC = 2r$. По условию задачи, длина образующей $CD = m$. Угол, который образующая составляет с плоскостью большего основания, — это угол при большем основании трапеции, то есть $∠CDA = α$. Диагональ осевого сечения, например $AC$, перпендикулярна образующей $CD$. Это означает, что $∠ACD = 90°$.

Таким образом, треугольник $ΔACD$ является прямоугольным с прямым углом $C$. В этом треугольнике:

• $CD = m$ (катет)
• $AD = 2R$ (гипотенуза)
• $∠CDA = α$

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ΔACD$ найдём гипотенузу $AD$:$cos(α) = \frac{CD}{AD} = \frac{m}{2R}$Отсюда выражаем радиус большего основания $R$:$2R = \frac{m}{cos(α)}$$R = \frac{m}{2cos(α)}$

Теперь найдём радиус меньшего основания $r$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Треугольник $ΔCHD$ — прямоугольный. Длина отрезка $HD$ равна:$HD = CD \cdot cos(∠CDA) = m \cdot cos(α)$

Для равнобокой трапеции справедливо, что отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований. То есть:$HD = \frac{AD - BC}{2}$Подставим известные значения:$m \cdot cos(α) = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$Отсюда выразим $r$:$r = R - m \cdot cos(α)$

Подставим в это выражение найденное ранее значение для $R$:$r = \frac{m}{2cos(α)} - m \cdot cos(α)$Приводя к общему знаменателю, получаем:$r = \frac{m - m \cdot 2cos^2(α)}{2cos(α)} = \frac{m(1 - 2cos^2(α))}{2cos(α)}$Используя формулу косинуса двойного угла $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$, из которой следует, что $1 - 2cos^2(α) = -cos(2α)$, окончательно получаем:$r = -\frac{m \cdot cos(2α)}{2cos(α)}$

Ответ: радиус большего основания $R = \frac{m}{2cos(α)}$, радиус меньшего основания $r = -\frac{m \cdot cos(2α)}{2cos(α)}$.