Номер 10.13, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.13. Радиус большего основания усечённого конуса равен $R$, радиус меньшего основания – $r$, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса. Длина большего основания трапеции равна диаметру большего основания конуса, то есть $2R$. Длина меньшего основания трапеции равна диаметру меньшего основания конуса, то есть $2r$. Угол между образующей и плоскостью большего основания, равный $\alpha$, является углом при большем основании трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Для нашего осевого сечения формула площади будет выглядеть так:

$S = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$.

Для нахождения площади необходимо определить высоту трапеции $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$ (катет), образующей (гипотенуза) и частью большего основания (второй катет). Длина этого второго катета равна полуразности оснований трапеции: $\frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

В этом прямоугольном треугольнике угол, прилежащий ко второму катету и противолежащий высоте $h$, равен заданному углу $\alpha$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{R-r}$

Отсюда выражаем высоту $h$:

$h = (R-r) \tan(\alpha)$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot h = (R+r) \cdot (R-r) \tan(\alpha)$

Применяя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем окончательный результат:

$S = (R^2 - r^2) \tan(\alpha)$

Ответ: $(R^2 - r^2) \tan(\alpha)$.