Страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.13. Радиус большего основания усечённого конуса равен $R$, радиус меньшего основания – $r$, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса. Длина большего основания трапеции равна диаметру большего основания конуса, то есть $2R$. Длина меньшего основания трапеции равна диаметру меньшего основания конуса, то есть $2r$. Угол между образующей и плоскостью большего основания, равный $\alpha$, является углом при большем основании трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Для нашего осевого сечения формула площади будет выглядеть так:

$S = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$.

Для нахождения площади необходимо определить высоту трапеции $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$ (катет), образующей (гипотенуза) и частью большего основания (второй катет). Длина этого второго катета равна полуразности оснований трапеции: $\frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

В этом прямоугольном треугольнике угол, прилежащий ко второму катету и противолежащий высоте $h$, равен заданному углу $\alpha$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{R-r}$

Отсюда выражаем высоту $h$:

$h = (R-r) \tan(\alpha)$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot h = (R+r) \cdot (R-r) \tan(\alpha)$

Применяя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем окончательный результат:

$S = (R^2 - r^2) \tan(\alpha)$

Ответ: $(R^2 - r^2) \tan(\alpha)$.

10.14. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 15 см, а диагональ осевого сечения — $4\sqrt{61}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны — образующим конуса ($l$), а высота трапеции — высоте конуса ($h$).

По условию задачи даны радиусы оснований $R = 15$ см и $r = 5$ см, а также диагональ осевого сечения $d = 4\sqrt{61}$ см.

Для нахождения высоты конуса $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения $d$, высотой $h$ и частью большего основания трапеции. Если провести высоту из вершины меньшего основания на большее, она отсечёт на большем основании отрезок, длина которого равна $R+r$. Этот отрезок и высота $h$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой.

Применим теорему Пифагора: $d^2 = h^2 + (R+r)^2$.
Подставим известные значения:
$(4\sqrt{61})^2 = h^2 + (15+5)^2$
$16 \cdot 61 = h^2 + 20^2$
$976 = h^2 + 400$
$h^2 = 976 - 400 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдём образующую $l$. Образующая является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $h$ и разность радиусов его оснований $R-r$.
По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.
$l^2 = 24^2 + (15-5)^2$
$l^2 = 576 + 10^2$
$l^2 = 576 + 100 = 676$
$l = \sqrt{676} = 26$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.
Подставим найденные значения:
$S_{бок} = \pi(15+5) \cdot 26$
$S_{бок} = \pi \cdot 20 \cdot 26$
$S_{бок} = 520\pi$ см².

Ответ: $520\pi$ см².

10.15. В усечённом конусе проведено осевое сечение $CC_1D_1D$ и по разные стороны от него на основаниях конуса выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 10.10). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $CC_1D_1$.

Рис. 10.10

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью осевого сечения $CC_1D_1D$ используется метод вспомогательной плоскости. Построение выполняется по следующему алгоритму:

1. Построение вершины полного конуса.

   Осевое сечение $CC_1D_1D$ является равнобедренной трапецией. Его боковые стороны $CC_1$ и $DD_1$ лежат на образующих конуса. Продлим отрезки $CC_1$ и $DD_1$ до их пересечения. Точку пересечения обозначим $S$. Эта точка является вершиной полного конуса, из которого был получен усеченный конус.

2. Выбор и построение вспомогательной плоскости.

   В качестве вспомогательной плоскости $\pi$ выберем плоскость, проходящую через точки $S, A$ и $B$. Обозначим ее $(SAB)$. По построению, прямая $AB$ лежит в этой плоскости.

3. Нахождение линии пересечения плоскостей.

   Теперь необходимо найти прямую, по которой пересекаются вспомогательная плоскость $(SAB)$ и плоскость сечения $(CC_1D_1D)$. Для построения прямой достаточно найти две ее точки.

   • Первая общая точка — это вершина $S$, так как $S$ принадлежит прямым $CC_1$ и $DD_1$, а значит, и всей плоскости сечения $(CC_1D_1D)$, и по построению принадлежит вспомогательной плоскости $(SAB)$.
   • Вторую общую точку найдем как точку пересечения следов этих плоскостей на плоскости нижнего основания конуса.
     - След плоскости сечения $(CC_1D_1D)$ на плоскости нижнего основания — это прямая $CD$.
     - След плоскости $(SAB)$ на плоскости нижнего основания — это прямая, проходящая через точку $A$. Для ее построения найдем еще одну точку: точку $B_0$, в которой прямая $SB$ пересекает плоскость нижнего основания. Тогда прямая $AB_0$ и будет искомым следом.
     - Точка $K$, в которой пересекаются прямые $CD$ и $AB_0$ ($K = CD \cap AB_0$), лежит на обоих следах. Следовательно, точка $K$ принадлежит обеим плоскостям: $(CC_1D_1D)$ и $(SAB)$. Это вторая общая точка.

   Таким образом, прямая $SK$ является линией пересечения плоскости $(SAB)$ и плоскости $(CC_1D_1D)$.

4. Нахождение искомой точки пересечения.

   Искомая точка является точкой пересечения исходной прямой $AB$ и плоскости $(CC_1D_1D)$. Так как прямая $AB$ лежит во вспомогательной плоскости $(SAB)$, а линия пересечения $SK$ лежит в обеих плоскостях, то точка пересечения $AB$ и $SK$ будет лежать как на прямой $AB$, так и на плоскости $(CC_1D_1D)$.

   Найдем точку пересечения прямых $AB$ и $SK$. Обозначим ее $X$. Обе прямые лежат в одной плоскости $(SAB)$, поэтому они пересекаются (в общем случае). Точка $X = AB \cap SK$ и есть искомая точка пересечения прямой с плоскостью.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $AB$ и прямой $SK$, где $S$ — точка пересечения продолжений образующих $CC_1$ и $DD_1$, а $K$ — точка пересечения прямых $CD$ и $AB_0$, где $B_0$ — точка пересечения прямой $SB$ с плоскостью нижнего основания.

10.16. В усечённом конусе проведено осевое сечение $MM_1N_1N$ и по разные стороны от него на окружностях оснований выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 10.11). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 10.11

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью осевого сечения $MM_1N_1$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей, используя вершину полного конуса, из которого был получен усеченный конус.

1. Построение вершины конуса. Продлим образующие $MM_1$ и $NN_1$, которые являются боковыми сторонами трапеции в осевом сечении, до их пересечения. Точку пересечения обозначим $S$. Эта точка является вершиной полного конуса.

2. Построение вспомогательной плоскости и ее следа. Проведем через прямую $AB$ и вершину $S$ вспомогательную плоскость $(SAB)$. Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$ должна лежать на линии пересечения этих двух плоскостей. Чтобы найти эту линию, найдем пересечение следов плоскостей $(SAB)$ и $(MM_1N_1)$ на плоскости нижнего основания конуса.

Следом плоскости осевого сечения $(MM_1N_1)$ на плоскости нижнего основания является прямая $MN$.

Чтобы найти след плоскости $(SAB)$ на плоскости нижнего основания, нам нужны две точки. Одна точка, $A$, уже лежит в этой плоскости. Вторую точку найдем, продолжив образующую $SB$ до пересечения с плоскостью нижнего основания. Обозначим эту точку $B_0$. Точки $S$, $B$ и $B_0$ лежат на одной прямой. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B_0$, является следом плоскости $(SAB)$ на плоскости нижнего основания.

3. Построение линии пересечения плоскостей. Найдем точку пересечения полученных следов: $K = AB_0 \cap MN$. Точка $K$ принадлежит как плоскости $(SAB)$, так и плоскости $(MM_1N_1)$. Поскольку точка $S$ также принадлежит обеим плоскостям, то прямая $SK$ является линией их пересечения.

4. Нахождение искомой точки. Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$. Так как прямая $SK$ полностью лежит в плоскости $(MM_1N_1)$, то точка $P$ должна лежать на прямой $SK$. В то же время, прямые $AB$ и $SK$ обе лежат во вспомогательной плоскости $(SAB)$, а значит, они пересекаются. Точка их пересечения $P = AB \cap SK$ и есть искомая точка.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $AB$ и прямой $SK$, где $S$ — точка пересечения продолжений образующих $MM_1$ и $NN_1$; $B_0$ — точка пересечения прямой $SB$ с плоскостью нижнего основания; $K$ — точка пересечения прямых $AB_0$ и $MN$.

10.17. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет $60^{\circ}$. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Пусть $H$ — высота усечённого конуса, $R$ и $r$ — радиусы его большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ — длина образующей.
Из условия задачи известно:
$H = 6$ см;
Угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60°$;
Диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны.

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией. Обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Длины оснований равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R$, $BC = 2r$. Боковые стороны равны образующей: $AB = CD = l$. Высота трапеции равна высоте конуса $H$.

Для равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота равна полусумме оснований. Применим это свойство к нашему осевому сечению:
$H = \frac{AD + BC}{2}$
Подставим выражения для оснований через радиусы:
$H = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$
Поскольку $H = 6$ см, получаем, что сумма радиусов оснований:
$R + r = 6$ см.

Теперь найдём длину образующей $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $l$, высотой $H$ и проекцией образующей на плоскость основания. Проведём высоту $BK$ из точки $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$:
• гипотенуза $AB = l$;
• катет $BK = H = 6$ см;
• угол $\angle BAK$ — это угол между образующей и плоскостью основания, который по условию равен $60°$.
Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(60°) = \frac{H}{l}$
Отсюда находим $l$:
$l = \frac{H}{\sin(60°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставим найденные значения $R+r=6$ и $l=4\sqrt{3}$:
$S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $24\pi\sqrt{3}$ см²

10.18. Образующая усечённого конуса равна $m$ и составляет с плоскостью большего основания угол $\alpha$, а диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, обозначим её $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — диаметры большего и меньшего оснований соответственно, а $AB$ и $CD$ — образующие.

Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. Тогда $AD = 2R$ и $BC = 2r$. По условию задачи, длина образующей $CD = m$. Угол, который образующая составляет с плоскостью большего основания, — это угол при большем основании трапеции, то есть $∠CDA = α$. Диагональ осевого сечения, например $AC$, перпендикулярна образующей $CD$. Это означает, что $∠ACD = 90°$.

Таким образом, треугольник $ΔACD$ является прямоугольным с прямым углом $C$. В этом треугольнике:

• $CD = m$ (катет)
• $AD = 2R$ (гипотенуза)
• $∠CDA = α$

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ΔACD$ найдём гипотенузу $AD$:$cos(α) = \frac{CD}{AD} = \frac{m}{2R}$Отсюда выражаем радиус большего основания $R$:$2R = \frac{m}{cos(α)}$$R = \frac{m}{2cos(α)}$

Теперь найдём радиус меньшего основания $r$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Треугольник $ΔCHD$ — прямоугольный. Длина отрезка $HD$ равна:$HD = CD \cdot cos(∠CDA) = m \cdot cos(α)$

Для равнобокой трапеции справедливо, что отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований. То есть:$HD = \frac{AD - BC}{2}$Подставим известные значения:$m \cdot cos(α) = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$Отсюда выразим $r$:$r = R - m \cdot cos(α)$

Подставим в это выражение найденное ранее значение для $R$:$r = \frac{m}{2cos(α)} - m \cdot cos(α)$Приводя к общему знаменателю, получаем:$r = \frac{m - m \cdot 2cos^2(α)}{2cos(α)} = \frac{m(1 - 2cos^2(α))}{2cos(α)}$Используя формулу косинуса двойного угла $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$, из которой следует, что $1 - 2cos^2(α) = -cos(2α)$, окончательно получаем:$r = -\frac{m \cdot cos(2α)}{2cos(α)}$

Ответ: радиус большего основания $R = \frac{m}{2cos(α)}$, радиус меньшего основания $r = -\frac{m \cdot cos(2α)}{2cos(α)}$.

10.19. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $ \alpha $, а угол между диагональю осевого сечения и этой плоскостью равен $ \beta $. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если его высота равна $ h $.

Пусть $R$ и $r$ - радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим её вершины $ABCD$, где $AD$ - большее основание, а $BC$ - меньшее. Тогда длины оснований трапеции равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R$, $BC = 2r$. Высота трапеции равна высоте конуса $h$.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Тогда $CH = h$.

Рассмотрим угол $\alpha$

Угол $\alpha$ — это угол между образующей конуса (в осевом сечении это боковая сторона трапеции, например, $CD$) и плоскостью большего основания (в сечении это прямая $AD$). В прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ (с прямым углом при вершине $H$) этот угол — $\angle CDH = \alpha$.

Из определения котангенса в прямоугольном треугольнике:

$\cot \alpha = \frac{HD}{CH}$

Подставляя известные значения, получаем $HD = CH \cdot \cot \alpha = h \cot \alpha$.

Длина отрезка $HD$ также может быть выражена через радиусы оснований. Поскольку трапеция равнобокая, $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

Приравнивая два полученных выражения для $HD$, получаем первое уравнение:

$R - r = h \cot \alpha$ (1)

Рассмотрим угол $\beta$

Угол $\beta$ — это угол между диагональю осевого сечения (отрезок $AC$) и плоскостью большего основания. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ (с прямым углом при вершине $H$) этот угол — $\angle CAH = \beta$.

Из определения котангенса в прямоугольном треугольнике:

$\cot \beta = \frac{AH}{CH}$

Подставляя известные значения, получаем $AH = CH \cdot \cot \beta = h \cot \beta$.

Длина отрезка $AH$ также выражается через радиусы: $AH = AD - HD = 2R - (R-r) = R+r$.

Приравнивая два полученных выражения для $AH$, получаем второе уравнение:

$R + r = h \cot \beta$ (2)

Решение системы уравнений

Мы имеем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:

$\begin{cases} R - r = h \cot \alpha \\ R + r = h \cot \beta \end{cases}$

Чтобы найти радиус большего основания $R$, сложим уравнения (1) и (2):

$(R - r) + (R + r) = h \cot \alpha + h \cot \beta$

$2R = h(\cot \alpha + \cot \beta)$

$R = \frac{h}{2}(\cot \alpha + \cot \beta)$

Чтобы найти радиус меньшего основания $r$, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(R + r) - (R - r) = h \cot \beta - h \cot \alpha$

$2r = h(\cot \beta - \cot \alpha)$

$r = \frac{h}{2}(\cot \beta - \cot \alpha)$

Ответ: радиусы оснований усечённого конуса равны $R = \frac{h}{2}(\cot \beta + \cot \alpha)$ и $r = \frac{h}{2}(\cot \beta - \cot \alpha)$.