Страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.34. В основании конуса проведены хорды $AB$ и $BC$ так, что $AB = 10$ см, $BC = 18$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. Угол между образующей $KC$ и хордой $AB$ равен $\arccos\frac{1}{3}$. Найдите образующую конуса.

Пусть $K$ — вершина конуса, а точки $A, B, C$ лежат на окружности его основания. Длина образующей конуса — это длина отрезков, соединяющих вершину с точками на окружности основания. Обозначим длину образующей через $L$, тогда $KA = KB = KC = L$.

1. Сначала рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости основания конуса. По условию, $AB = 10$ см, $BC = 18$ см, $\angle ABC = 60^{\circ}$. Применим теорему косинусов для нахождения длины хорды $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 10^2 + 18^2 - 2 \cdot 10 \cdot 18 \cdot \cos(60^{\circ}) = 100 + 324 - 360 \cdot \frac{1}{2} = 424 - 180 = 244$.

Таким образом, $AC = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ см.

2. Угол между скрещивающимися прямыми, в данном случае между образующей $KC$ и хордой $AB$, можно найти с помощью скалярного произведения векторов. Пусть $\alpha$ — угол между прямыми $KC$ и $AB$. По условию $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$, значит $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.

Косинус угла между векторами $\vec{KC}$ и $\vec{AB}$ определяется формулой:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{KC} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{KC}| \cdot |\vec{AB}|}$

Подставляя известные значения $|\vec{KC}| = L$ и $|\vec{AB}| = 10$, получаем:

$\frac{1}{3} = \frac{|\vec{KC} \cdot \vec{AB}|}{L \cdot 10} \implies |\vec{KC} \cdot \vec{AB}| = \frac{10L}{3}$.

3. Выразим вектор $\vec{AB}$ через векторы, проведенные из вершины конуса $K$: $\vec{AB} = \vec{KB} - \vec{KA}$.

Теперь найдем скалярное произведение:

$\vec{KC} \cdot \vec{AB} = \vec{KC} \cdot (\vec{KB} - \vec{KA}) = \vec{KC} \cdot \vec{KB} - \vec{KC} \cdot \vec{KA}$.

4. Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Поэтому:

$\vec{KC} \cdot \vec{KB} = |\vec{KC}| \cdot |\vec{KB}| \cdot \cos(\angle CKB) = L \cdot L \cdot \cos(\angle CKB) = L^2 \cos(\angle CKB)$.

$\vec{KC} \cdot \vec{KA} = |\vec{KC}| \cdot |\vec{KA}| \cdot \cos(\angle CKA) = L \cdot L \cdot \cos(\angle CKA) = L^2 \cos(\angle CKA)$.

5. Найдем косинусы углов $\angle CKB$ и $\angle CKA$ из равнобедренных треугольников $KBC$ и $KAC$ с помощью теоремы косинусов.

В треугольнике $KBC$ стороны $KC=L$, $KB=L$, $BC=18$:

$BC^2 = KC^2 + KB^2 - 2 \cdot KC \cdot KB \cdot \cos(\angle CKB)$

$18^2 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos(\angle CKB) \implies 324 = 2L^2(1 - \cos(\angle CKB))$.

Отсюда $\cos(\angle CKB) = 1 - \frac{324}{2L^2} = 1 - \frac{162}{L^2}$.

В треугольнике $KAC$ стороны $KC=L$, $KA=L$, $AC=\sqrt{244}$:

$AC^2 = KC^2 + KA^2 - 2 \cdot KC \cdot KA \cdot \cos(\angle CKA)$

$244 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos(\angle CKA) \implies 244 = 2L^2(1 - \cos(\angle CKA))$.

Отсюда $\cos(\angle CKA) = 1 - \frac{244}{2L^2} = 1 - \frac{122}{L^2}$.

6. Подставим полученные выражения для косинусов в формулу для скалярного произведения:

$\vec{KC} \cdot \vec{AB} = L^2 \cos(\angle CKB) - L^2 \cos(\angle CKA) = L^2 \left( \left(1 - \frac{162}{L^2}\right) - \left(1 - \frac{122}{L^2}\right) \right)$

$\vec{KC} \cdot \vec{AB} = L^2 \left( 1 - \frac{162}{L^2} - 1 + \frac{122}{L^2} \right) = L^2 \left( \frac{122 - 162}{L^2} \right) = L^2 \left( \frac{-40}{L^2} \right) = -40$.

7. Теперь мы можем найти $L$, приравняв модуль скалярного произведения к выражению, найденному в шаге 2:

$|\vec{KC} \cdot \vec{AB}| = |-40| = 40$.

$\frac{10L}{3} = 40$.

$10L = 120$.

$L = 12$.

Таким образом, длина образующей конуса равна 12 см.

Ответ: 12 см.

9.35. Высота конуса равна 20 см. На окружности основания отметили точку $C$, удалённую от диаметра $AB$ основания на 15 см. Найдите расстояние между прямой $AB$ и прямой, содержащей образующую $SC$ конуса.

Прямая AB, содержащая диаметр основания конуса, и прямая, содержащая образующую SC, являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом ортогонального проецирования на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.

Пусть O — центр основания конуса, S — его вершина. Высота конуса $SO = 20$ см. Диаметр AB лежит в плоскости основания. Точка C лежит на окружности основания. Расстояние от точки C до диаметра AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Обозначим основание этого перпендикуляра как K. Тогда $CK \perp AB$ и $CK = 15$ см.

Рассмотрим плоскость $\Pi$, проходящую через точку C и перпендикулярную прямой AB. Спроецируем на эту плоскость прямые AB и SC.

1. Прямая AB, будучи перпендикулярной плоскости $\Pi$, спроецируется в одну точку — точку K, которая является точкой пересечения AB и $\Pi$.

2. Образующая SC спроецируется в отрезок S'C, где S' — ортогональная проекция точки S на плоскость $\Pi$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AB и SC равно расстоянию от точки K до прямой S'C в плоскости $\Pi$.

Рассмотрим геометрию в плоскости $\Pi$.

Высота конуса SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой AB, лежащей в этой плоскости. Так как плоскость $\Pi$ также перпендикулярна AB, то отрезок KS', являющийся проекцией отрезка, соединяющего S и K, будет равен по длине высоте конуса SO и перпендикулярен отрезку CK. Таким образом, в плоскости $\Pi$ мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle CKS'$ с прямым углом при вершине K.

Катеты этого треугольника равны:
$CK = 15$ см (по условию).
$KS' = SO = 20$ см (так как KS' является проекцией высоты на параллельную ей плоскость).

Искомое расстояние $d$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла K к гипотенузе S'C.

Найдем длину гипотенузы S'C по теореме Пифагора:
$S'C = \sqrt{CK^2 + (KS')^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Площадь треугольника $\triangle CKS'$ можно вычислить двумя способами:
1. Через катеты: $A = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot KS' = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.
2. Через гипотенузу и высоту $d$, проведенную к ней: $A = \frac{1}{2} \cdot S'C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot d$.

Приравняем оба выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot d = 150$
$25d = 300$
$d = \frac{300}{25} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

9.36. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей возможной площади. Оказалось, что эта площадь в два раза больше площади осевого сечения. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Пусть $L$ — длина образующей конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $L$. Обозначим искомый угол между образующими в осевом сечении через $\alpha$.

Площадь осевого сечения ($S_{ос}$) вычисляется по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{ос} = \frac{1}{2} L \cdot L \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} L^2 \sin(\alpha)$

Любое сечение, проходящее через вершину конуса, также является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами, равными $L$. Площадь такого сечения ($S_{сеч}$) зависит от угла $\gamma$ между образующими, которые его формируют:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin(\gamma)$

Площадь сечения будет наибольшей, когда значение $\sin(\gamma)$ будет максимальным. Максимальный угол между двумя образующими конуса не может превышать угол в осевом сечении, то есть $\gamma \le \alpha$.

Рассмотрим два возможных случая для угла $\alpha$:

1. Если $\alpha \le 90^\circ$. На промежутке $(0, 90^\circ]$ функция синуса возрастает. Следовательно, максимальное значение $\sin(\gamma)$ достигается при самом большом возможном угле, то есть при $\gamma = \alpha$. В этом случае сечение наибольшей площади совпадает с осевым сечением: $S_{max} = S_{ос}$. Согласно условию задачи, $S_{max} = 2 \cdot S_{ос}$, что приводит к равенству $S_{ос} = 2 \cdot S_{ос}$. Это равенство верно только при $S_{ос} = 0$, что невозможно для реального конуса. Следовательно, этот случай не соответствует условию задачи.

2. Если $\alpha > 90^\circ$. На промежутке $(0, \alpha]$ функция $\sin(\gamma)$ достигает своего максимального значения, равного 1, при $\gamma = 90^\circ$. Так как $\alpha > 90^\circ$, то существует сечение, в котором образующие перпендикулярны. Это и будет сечение наибольшей возможной площади. Его площадь $S_{max}$ равна:

$S_{max} = \frac{1}{2} L^2 \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} L^2$

Теперь подставим выражения для $S_{max}$ и $S_{ос}$ в условие задачи $S_{max} = 2 \cdot S_{ос}$:

$\frac{1}{2} L^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} L^2 \sin(\alpha)\right)$

$\frac{1}{2} L^2 = L^2 \sin(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $L^2$ (поскольку $L > 0$):

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Нам нужно найти угол $\alpha$, который удовлетворяет двум условиям: $\sin(\alpha) = 1/2$ и $\alpha > 90^\circ$ (а также $\alpha < 180^\circ$, так как это угол треугольника). Единственным таким углом является $\alpha = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

9.37. Радиус основания конуса и его образующая равны соответственно $\frac{2}{3}$ см и 2 см. Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по боковой поверхности конуса, начало и конец которого совпадают с некоторой точкой окружности основания.

Для нахождения длины кратчайшего замкнутого пути по боковой поверхности конуса необходимо представить эту поверхность в виде развертки. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга.

Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$. По условию, $l = 2$ см. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Вычислим ее по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания конуса.

По условию, $r = \frac{2}{3}$ см. Следовательно, длина дуги сектора:$C = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см.

Найдем центральный угол $\alpha$ сектора развертки. Длина дуги сектора связана с его радиусом $l$ и центральным углом $\alpha$ (в радианах) соотношением $C = l\alpha$. Выразим угол $\alpha$:$\alpha = \frac{C}{l} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3}$ радиан. Переведем угол в градусы для наглядности: $\alpha = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ$.

Кратчайший путь на развертке представляет собой прямую линию. Поскольку путь замкнутый и начинается и заканчивается в одной точке на окружности основания, на развертке этот путь будет соединять две точки на краях сектора, которые соответствуют начальной/конечной точке на конусе. Эта прямая является хордой, стягивающей дугу сектора.

Длину этой хорды, обозначим ее $d$, можно найти, рассмотрев равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами сектора (равными $l=2$ см) и этой хордой. Угол между радиусами равен центральному углу сектора $\alpha = 120^\circ$. Применим теорему косинусов для нахождения длины хорды $d$:$d^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(\alpha)$Подставим известные значения:$d^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = - \frac{1}{2}$, получим:$d^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2})$$d^2 = 8 + 4$$d^2 = 12$$d = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

9.38. Отрезки $AD$ и $CE$ — медианы треугольника $ABC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 8\sqrt{5}$ см, $BC = 6\sqrt{5}$ см и $AD \perp CE$.

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, они точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $AO:OD = 2:1$ и $CO:OE = 2:1$. Для удобства вычислений обозначим длины отрезков: пусть $OD = x$ и $OE = y$, тогда $AO = 2x$ и $CO = 2y$.

Поскольку $AD$ и $CE$ являются медианами, точки $D$ и $E$ — середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Длина отрезка $CD$ равна половине длины $BC$, то есть $CD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ см. Длина отрезка $AE$ равна половине длины $AB$, то есть $AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

По условию, медианы $AD$ и $CE$ перпендикулярны ($AD \perp CE$), значит угол в точке их пересечения $O$ равен $90^\circ$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOE$ и $\triangle COD$. Применим к ним теорему Пифагора. Для $\triangle AOE$ имеем: $AO^2 + OE^2 = AE^2$, или $(2x)^2 + y^2 = (4\sqrt{5})^2$, что дает $4x^2 + y^2 = 80$. Для $\triangle COD$ имеем: $CO^2 + OD^2 = CD^2$, или $(2y)^2 + x^2 = (3\sqrt{5})^2$, что дает $x^2 + 4y^2 = 45$.

Мы получили систему из двух уравнений: $4x^2 + y^2 = 80$ и $x^2 + 4y^2 = 45$. Сложим эти два уравнения: $(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 80 + 45$. Это упрощается до $5x^2 + 5y^2 = 125$. Разделив обе части уравнения на 5, получаем $x^2 + y^2 = 25$.

Сторону $AC$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle AOC$ (угол $\angle AOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AC^2 = AO^2 + CO^2$. Подставляя наши обозначения, получаем $AC^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$.

Так как мы ранее нашли, что $x^2 + y^2 = 25$, подставим это значение в выражение для $AC^2$: $AC^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Отсюда находим длину стороны $AC$: $AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

9.39. Площадь равнобокой трапеции равна $32\sqrt{3}$ см^2, а острый угол — 60°. Найдите боковую сторону трапеции, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобокой трапеции, $c$ — её боковая сторона, $h$ — высота, $S$ — площадь, $\alpha$ — острый угол.

По условию задачи:
$S = 32\sqrt{3}$ см²
$\alpha = 60^\circ$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Для равнобокой трапеции:
$a + b = c + c = 2c$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Подставим в эту формулу $a+b=2c$:
$S = \frac{2c}{2} \cdot h = c \cdot h$

Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона $c$, одним из катетов — высота $h$, а прилежащий к этому катету угол равен $90^\circ - \alpha$, противолежащий катету $h$ угол равен $\alpha$.
Из этого треугольника выразим высоту $h$ через боковую сторону $c$ и угол $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{c} \implies h = c \cdot \sin(\alpha)$
Подставим значение угла $\alpha = 60^\circ$:
$h = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим выражение для высоты $h$ в формулу площади $S = c \cdot h$:
$S = c \cdot \left(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{c^2\sqrt{3}}{2}$

Используя известное значение площади $S = 32\sqrt{3}$, составим уравнение для нахождения $c$:
$\frac{c^2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$\frac{c^2}{2} = 32$
$c^2 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$ (так как длина стороны — положительная величина).

Ответ: 8 см.