Страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.11. В основании конуса проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Угол между высотой конуса и его образующей равен $\beta$, а длина образующей равна $m$. Найдите данную хорду.

Обозначим вершину конуса как $S$, центр его основания как $O$, а высоту как $SO$. Пусть $AB$ — данная хорда в основании конуса. Тогда $SA$ и $SB$ — образующие конуса, и по условию их длина равна $m$, то есть $SA = SB = m$. Радиус основания конуса $OA=OB=R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, образованный высотой конуса $SO$, радиусом основания $OA$ и образующей $SA$. В этом треугольнике $\angle SOA = 90^\circ$. По условию, угол между высотой $SO$ и образующей $SA$ равен $\beta$, следовательно, $\angle OSA = \beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ мы можем найти радиус основания $R$. Синус угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета $OA$ к гипотенузе $SA$:
$\sin(\beta) = \frac{OA}{SA} = \frac{R}{m}$
Отсюда выражаем радиус основания:
$R = m \sin(\beta)$

Теперь рассмотрим основание конуса, которое представляет собой круг с центром $O$ и радиусом $R$. В этом круге проведена хорда $AB$, которая стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен градусной мере дуги, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ с боковыми сторонами $OA = OB = R$ и углом $\angle AOB = \alpha$ между ними. Длину хорды $AB$ можно найти, например, по теореме косинусов:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
$AB^2 = R^2 + R^2 - 2 R^2 \cos(\alpha) = 2R^2(1 - \cos(\alpha))$
Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:
$AB^2 = 2R^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4R^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень, находим длину хорды:
$AB = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

На последнем шаге подставим выражение для радиуса $R = m \sin(\beta)$, найденное ранее, в формулу для длины хорды $AB$:
$AB = 2(m \sin(\beta)) \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2m \sin(\beta) \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $2m \sin(\beta) \sin(\frac{\alpha}{2})$

9.12. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\beta$ ($0^{\circ} < \beta < 180^{\circ}$). Найдите площадь образовавшегося сечения, если высота конуса равна $H$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\alpha$.

Пусть дан конус с вершиной $S$, центром основания $O$, радиусом основания $R$ и высотой $SO = H$. Секущая плоскость проходит через две образующие $SA$ и $SB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Образовавшееся сечение — это равнобедренный треугольник $SAB$, так как образующие $SA$ и $SB$ равны.

Площадь этого треугольника можно найти по формуле $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$, где $AB$ — основание (хорда в основании конуса), а $SM$ — высота сечения, проведенная к этому основанию ($M$ — середина $AB$).

Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре $AB$. Так как $OM \perp AB$ (в равнобедренном треугольнике $AOB$, где $R=OA=OB$ — радиус основания) и $SM \perp AB$ (в равнобедренном треугольнике $SAB$), то линейным углом этого двугранного угла является $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания). Из этого треугольника находим высоту сечения $SM$ и расстояние $OM$ от центра основания до хорды $AB$:
$SM = \frac{SO}{\sin\alpha} = \frac{H}{\sin\alpha}$
$OM = \frac{SO}{\tan\alpha} = H \cot\alpha$

Теперь рассмотрим основание конуса. Хорда $AB$ стягивает дугу с градусной мерой $\beta$, поэтому центральный угол $\angle AOB = \beta$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$ также является биссектрисой, поэтому $\angle AOM = \frac{\beta}{2}$. Из прямоугольного треугольника $OAM$ выразим $OM$ и половину хорды $AM$:
$OM = R \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$
$AM = R \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$, следовательно, $AB = 2R \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Приравнивая два полученных выражения для $OM$, найдем радиус основания $R$:
$H \cot\alpha = R \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \implies R = \frac{H \cot\alpha}{\cos(\frac{\beta}{2})}$.
Подставим это значение $R$ в формулу для длины хорды $AB$:
$AB = 2 \cdot \frac{H \cot\alpha}{\cos(\frac{\beta}{2})} \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = 2H \cot\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Наконец, вычислим площадь сечения, подставив найденные значения $AB$ и $SM$:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \left( 2H \cot\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \right) \cdot \left( \frac{H}{\sin\alpha} \right)$
$S_{SAB} = H^2 \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{H^2 \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})}{\sin^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{H^2 \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})}{\sin^2\alpha}$.

9.13. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $60^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 8 см, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. Нахождение длины образующей конуса (l)

Сечение конуса, проходящее через две образующие, представляет собой треугольник. Пусть вершина конуса — точка $S$, а точки пересечения образующих с основанием — $A$ и $B$. Тогда сечение — это треугольник $SAB$.

По условию, стороны $SA$ и $SB$ являются образующими конуса, следовательно, $SA = SB = l$. Угол между этими образующими $\angle ASB = 60^\circ$.

Треугольник $SAB$ является равнобедренным, так как $SA = SB$. Поскольку угол при вершине в равнобедренном треугольнике равен $60^\circ$, то и углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Это означает, что все его стороны равны: $SA = SB = AB = l$. По условию, плоскость пересекает основание по хорде $AB$ длиной 8 см. Следовательно, длина образующей $l = 8$ см.

2. Нахождение радиуса основания конуса (R)

Рассмотрим основание конуса — окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ длиной 8 см стягивает дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на эту дугу, $\angle AOB$, равен градусной мере дуги, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности ($OA = OB = R$), и прямоугольным, так как $\angle AOB = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $AOB$:

$OA^2 + OB^2 = AB^2$

$R^2 + R^2 = 8^2$

$2R^2 = 64$

$R^2 = 32$

$R = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности конуса (S_бок)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R l$

Подставим найденные значения $R = 4\sqrt{2}$ см и $l = 8$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 8 = 32\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

9.14. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, представляет собой два конуса, соединенных основаниями. Поверхность этого тела состоит из боковых поверхностей этих двух конусов.

Даны катеты прямоугольного треугольника: $a = 5$ см и $b = 12$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Найдем радиус общего основания конусов $r$. Этот радиус равен высоте $h$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Приравнивая правые части, получаем $a \cdot b = c \cdot h$, откуда $h = \frac{a \cdot b}{c}$.

Подставляем значения:

$r = h = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ см.

3. Найдем площадь поверхности тела вращения. Она равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов ($S_1$ и $S_2$). Образующими этих конусов являются катеты исходного треугольника, то есть $l_1 = a = 5$ см и $l_2 = b = 12$ см. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.

Площадь поверхности всего тела $S_{тела}$:

$S_{тела} = S_1 + S_2 = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.

Подставляем найденные значения $r$, $l_1$ и $l_2$:

$S_{тела} = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot (5 + 12) = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 17 = \frac{1020\pi}{13}$ см².

Ответ: $\frac{1020\pi}{13}$ см².

9.15. Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при основании вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны равны $AB = BC$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей боковую сторону $AB$.

Полученное тело вращения состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Первый конус образован вращением стороны $AC$, а второй — вращением стороны $BC$. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Сначала найдем длины образующих конусов. Образующей первого конуса является основание треугольника $AC$, ее длина $l_1 = a$. Образующей второго конуса является боковая сторона $BC$. Найдем ее длину. Угол при вершине треугольника $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$ и формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:

$\frac{a}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)}$

Отсюда длина боковой стороны (и второй образующей):

$l_2 = BC = \frac{a \sin(\alpha)}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Теперь найдем радиус общего основания. Радиус $R$ общего основания конусов равен длине высоты $CH$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти как $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CH$. Также площадь можно найти по формуле $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA)$. Приравнивая эти два выражения для площади:

$\frac{1}{2} AB \cdot CH = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA)$

Поскольку $AB=BC$, эти стороны сокращаются:

$CH = AC \cdot \sin(\angle BCA)$

$R = a \sin(\alpha)$

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов ($S_1$ и $S_2$):

$S = S_1 + S_2 = \pi R l_1 + \pi R l_2$

Подставляем найденные значения $R$, $l_1$ и $l_2$:

$S = \pi (a \sin(\alpha)) \cdot a + \pi (a \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)$

$S = \pi a^2 \sin(\alpha) + \frac{\pi a^2 \sin(\alpha)}{2\cos(\alpha)}$

$S = \pi a^2 \sin(\alpha) + \frac{\pi a^2}{2} \tan(\alpha)$

Вынося общий множитель $\pi a^2$ за скобки, получаем окончательный результат:

$S = \pi a^2 \left(\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\tan(\alpha)\right)$

Ответ: $S = \pi a^2 \left(\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\tan(\alpha)\right)$

9.16. Равнобедренный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

При вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его основание, образуется тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Проведем высоту $h$ к основанию. Эта высота является радиусом основания конусов ($r = h$), а боковая сторона треугольника $b$ является образующей конусов ($l = b$). Высота также делит основание $a$ и угол $\alpha$ пополам.

Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, образованных высотой. В этом треугольнике:

• Один катет равен половине основания: $a/2$.

• Другой катет – это высота треугольника $h$ (и радиус $r$ конуса).

• Гипотенуза – это боковая сторона $b$ (и образующая $l$ конуса).

• Угол, противолежащий катету $a/2$, равен $\alpha/2$.

Найдем радиус $r$ и образующую $l$ через известные $a$ и $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:
$ \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{h} \implies h = \frac{a/2}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) $
Таким образом, радиус основания конуса: $r = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Также:
$ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{b} \implies b = \frac{a/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} $
Таким образом, образующая конуса: $l = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.
Площадь поверхности всего тела вращения $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:
$ S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi r l $

Подставим найденные выражения для $r$ и $l$:
$ S = 2 \pi \left( \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) \right) \left( \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \right) $

Упростим выражение. Вспомним, что $ \cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $:
$ S = 2 \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} $
$ S = \pi a \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} $
$ S = \frac{\pi a^2 \cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $ \frac{\pi a^2 \cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} $

9.17. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a = 9$ см, $b = 6$ см и высотой $h = 4$ см. Вращение происходит вокруг большего основания $a$.

Тело, полученное в результате вращения, состоит из цилиндра и конуса, имеющих общее основание. Полная площадь поверхности этого тела складывается из трех частей:

1. Площади круга, который является основанием цилиндра (образуется вращением высоты трапеции).
2. Площади боковой поверхности цилиндра (образуется вращением меньшего основания трапеции).
3. Площади боковой поверхности конуса (образуется вращением наклонной стороны трапеции).

Найдем площадь каждой из этих частей.

Радиус основания как для цилиндра, так и для конуса, равен высоте трапеции: $r = h = 4$ см.

1. Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле $S_1 = \pi r^2$.
$S_1 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

2. Высота цилиндрической части тела равна длине меньшего основания трапеции: $h_{\text{цил}} = b = 6$ см. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_2 = 2\pi r h_{\text{цил}}$.
$S_2 = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi$ см².

3. Для нахождения площади боковой поверхности конуса необходимо найти длину его образующей $l$, которая является наклонной стороной трапеции. Высота конуса равна разности оснований трапеции: $h_{\text{кон}} = a - b = 9 - 6 = 3$ см. По теореме Пифагора находим образующую:

$l = \sqrt{r^2 + h_{\text{кон}}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_3 = \pi r l$.
$S_3 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$ см².

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей этих трех частей:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 16\pi + 48\pi + 20\pi = 84\pi$ см².

Ответ: $84\pi$ см².

9.18. Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом $45^{\circ}$ вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Анализ геометрии трапеции

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания, причем $BC$ — меньшее основание. Пусть $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Острый угол трапеции — это $\angle D = 45^\circ$.

По условию, основания равны $BC = 3$ см и $AD = 4$ см.

Для нахождения высоты трапеции и длины второй боковой стороны проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$, следовательно:

$AB = CH$ (высота трапеции, обозначим ее $h$)

$AH = BC = 3$ см

Рассмотрим отрезок $HD$ на большем основании:

$HD = AD - AH = 4 - 3 = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем $\angle CHD = 90^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $CHD$ является равнобедренным, и $CH = HD = 1$ см.

Таким образом, высота трапеции $h = AB = CH = 1$ см.

Найдем длину наклонной боковой стороны $CD$ по теореме Пифагора для треугольника $CHD$:

$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$CD = \sqrt{2}$ см.

2. Определение тела вращения и его поверхности

Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей ее меньшее основание $BC$. Поверхность тела вращения будет состоять из трех частей, образованных вращением сторон $AB$, $AD$ и $CD$. Сторона $BC$ лежит на оси вращения и не образует поверхности.

$S_{пов} = S_{AB} + S_{AD} + S_{CD}$

3. Расчет площадей поверхностей

• Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AB$ ($S_{AB}$)
  Сторона $AB$ перпендикулярна оси вращения $BC$. При вращении она образует круг радиусом $r_1 = AB = 1$ см.
  $S_{AB} = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$.
• Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AD$ ($S_{AD}$)
  Сторона $AD$ параллельна оси вращения $BC$, и расстояние между ними равно высоте трапеции $h=1$ см. При вращении сторона $AD$ образует боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $r_2 = h = 1$ см, а его высота (длина образующей) $l_2 = AD = 4$ см.
  $S_{AD} = 2 \pi r_2 l_2 = 2 \pi \cdot 1 \cdot 4 = 8\pi \text{ см}^2$.
• Площадь поверхности, образованной вращением стороны $CD$ ($S_{CD}$)
  Сторона $CD$ является наклонной. При вращении вокруг оси $BC$ она образует боковую поверхность усеченного конуса. Однако, поскольку точка $C$ лежит на оси вращения, расстояние от нее до оси равно нулю. Это означает, что фигура является полноценным конусом, вершина которого находится в точке, где прямая $CD$ пересекает ось вращения.
  Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi R l$, где $l$ — длина образующей, а $R$ — радиус основания.
  В нашем случае образующей является сторона $CD$, ее длина $l_3 = CD = \sqrt{2}$ см.
  Радиусом основания конуса является расстояние от точки $D$ до оси вращения (прямой $BC$), которое равно высоте трапеции $h=1$ см. Итак, $R_3 = h = 1$ см.
  $S_{CD} = \pi R_3 l_3 = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2} \text{ см}^2$.

4. Нахождение общей площади поверхности

Суммируем площади всех трех поверхностей:

$S_{пов} = S_{AB} + S_{AD} + S_{CD} = \pi + 8\pi + \pi\sqrt{2} = 9\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(9 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Ответ: $\pi(9 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

9.19. Ромб со стороной $10 \text{ см}$ и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, содержащей одну из сторон ромба. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a = 10$ см и острым углом при вершине A, равным $60^\circ$. Вращение производится вокруг прямой, содержащей сторону AD.

Площадь поверхности полученного тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением трех других сторон ромба: AB, BC и CD. Сторона AD находится на оси вращения, поэтому она не образует поверхности.

Тело вращения состоит из центральной цилиндрической части и двух конических частей по бокам.

Для вычисления площадей нам понадобится высота ромба $h$, опущенная из вершины B на сторону AD. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной AB, высотой $h$ и частью стороны AD, высота $h$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$.

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Эта высота будет радиусом для всех частей тела вращения.

1. Вращение стороны AB образует боковую поверхность конуса. Образующая этого конуса $l$ равна стороне ромба $a = 10$ см, а радиус его основания $r$ равен высоте ромба $h = 5\sqrt{3}$ см. Площадь этой поверхности $S_1$ равна:

$S_1 = \pi r l = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 50\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Так как в ромбе противоположные стороны параллельны, то сторона BC параллельна стороне AD (оси вращения). При вращении отрезка BC образуется боковая поверхность цилиндра. Высота этого цилиндра $H$ равна длине стороны ромба $a = 10$ см, а его радиус $R$ равен высоте ромба $h = 5\sqrt{3}$ см. Площадь этой поверхности $S_2$ равна:

$S_2 = 2\pi R H = 2\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 100\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Вращение стороны CD образует боковую поверхность второго конуса. По симметрии ромба, этот конус идентичен первому. Его образующая $l = 10$ см, а радиус основания $r = 5\sqrt{3}$ см. Площадь его поверхности $S_3$ также равна $S_1$:

$S_3 = \pi r l = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 50\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ является суммой площадей этих трех поверхностей:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 50\pi\sqrt{3} + 100\pi\sqrt{3} + 50\pi\sqrt{3} = 200\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $200\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

9.20. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна меньшему основанию. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 26$ см, меньшее основание $BC = 10$ см. Боковая сторона равна меньшему основанию, следовательно, $AB = CD = 10$ см.

При вращении трапеции вокруг прямой, содержащей ее большее основание AD, образуется тело вращения. Это тело состоит из цилиндра, образованного вращением центрального прямоугольника трапеции, и двух одинаковых конусов, образованных вращением прямоугольных треугольников по краям трапеции. Площадь поверхности этого тела складывается из площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов.

Для вычисления площадей необходимо найти высоту трапеции. Проведем высоты BE и CF из вершин B и C на основание AD. В равнобокой трапеции отрезки у основания, отсекаемые высотами, равны: $AE = FD$. Длина отрезка EF равна длине меньшего основания: $EF = BC = 10$ см. Длину отрезка AE можно найти как полуразность оснований:

$AE = \frac{AD - BC}{2} = \frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = BE$:

$h = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Эта высота является радиусом оснований как для цилиндра, так и для конусов: $r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi r h_{цил}$. Высота цилиндра $h_{цил}$ равна длине меньшего основания трапеции $BC = 10$ см. Расчет площади:

$S_{цил} = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{кон} = \pi r l$. Образующая конуса $l$ равна боковой стороне трапеции $AB = 10$ см. Расчет площади:

$S_{кон} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 120\pi + 2 \cdot 60\pi = 120\pi + 120\pi = 240\pi$ см$^2$.

Ответ: $240\pi$ см$^2$.

9.21. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 12 см, а градусная мера дуги – $240^\circ$. Найдите радиус основания конуса.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора является образующей конуса ($L$), а длина дуги этого сектора ($l_{дуги}$) равна длине окружности основания конуса ($C_{осн}$).

По условию задачи нам даны:

• Радиус сектора (образующая конуса): $L = 12$ см.
• Градусная мера дуги сектора: $\alpha = 240^{\circ}$.

Необходимо найти радиус основания конуса ($r$).

1. Сначала найдём длину дуги сектора. Длина дуги вычисляется по формуле:

$l_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2\pi L$

Подставим в формулу известные значения:

$l_{дуги} = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 12 = \frac{2}{3} \cdot 24\pi = 16\pi$ см.

2. Длина дуги сектора развёртки равна длине окружности основания конуса. Формула длины окружности основания:

$C_{осн} = 2\pi r$

3. Приравняем два этих значения, чтобы найти радиус основания $r$:

$l_{дуги} = C_{осн}$

$16\pi = 2\pi r$

Теперь выразим $r$, разделив обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

9.22. Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Какова величина угла при вершине осевого сечения конуса?

Пусть $l$ — длина образующей конуса, а $r$ — радиус его основания. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию задачи, разверткой является полукруг. Радиус этого полукруга равен образующей конуса $l$. Длина дуги такого полукруга вычисляется как половина длины окружности с радиусом $l$:
$L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi l = \pi l$

Длина окружности основания конуса равна $C = 2\pi r$.

Так как дуга развертки образует окружность основания конуса при сворачивании, их длины должны быть равны:
$L_{дуги} = C$
$\pi l = 2\pi r$

Из этого равенства мы находим соотношение между образующей и радиусом основания:
$l = 2r$

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $d = 2r$. Искомый угол $\alpha$ — это угол при вершине этого треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике угол при вершине конуса равен $\frac{\alpha}{2}$. Синус этого угла определяется как отношение противолежащего катета ($r$) к гипотенузе ($l$):
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $l=2r$:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно:
$\frac{\alpha}{2} = 30^\circ$

Отсюда находим величину полного угла при вершине осевого сечения:
$\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$