Страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.11. Ребро куба равно $a$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в данный куб.

Поскольку цилиндр вписан в куб с ребром $a$, его высота $h$ равна ребру куба, а основаниями являются круги, вписанные в противоположные грани куба.

Высота цилиндра $h$ равна:
$h = a$

Основание цилиндра — это круг, вписанный в квадрат со стороной $a$. Диаметр этого круга равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус основания $r$ равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь одного основания (круга) равна:
$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

Площадь боковой поверхности равна:
$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \left(\frac{a}{2}\right) a = \pi a^2$

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} + \pi a^2 = \frac{\pi a^2}{2} + \pi a^2 = \frac{\pi a^2 + 2\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}\pi a^2$

8.12. В призму, основанием которой является равнобокая трапеция с основаниями 8 см и 18 см, вписан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если высота призмы равна 10 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота.

Из условия задачи известно, что цилиндр вписан в призму. Это означает, что высота цилиндра $h$ равна высоте призмы, а основание цилиндра (круг) вписано в основание призмы (равнобокую трапецию).
Высота призмы, а следовательно и высота цилиндра, равна $h = 10$ см.

Теперь найдем радиус основания цилиндра $r$. Он равен радиусу окружности, вписанной в равнобокую трапецию. Основания трапеции равны $a = 18$ см и $b = 8$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает:
$a + b = c + c = 2c$
$18 + 8 = 2c$
$26 = 2c$
$c = 13$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h_{трап} = 2r$). Найдем высоту трапеции. Для этого опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — боковая сторона $c=13$ см, один из катетов — высота $h_{трап}$, а другой катет — полуразность оснований: $\frac{a - b}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора:
$h_{трап}^2 = c^2 - (\frac{a-b}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$h_{трап} = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания цилиндра) равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь, зная радиус $r=6$ см и высоту $h=10$ см, вычисляем площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10 = 120 \pi$ см².

Ответ: $120 \pi$ см².

8.13. В призму, основанием которой является ромб со стороной $10\sqrt{2}$ см и углом $45^\circ$, вписан цилиндр. Найдите площадь осевого сечения этого цилиндра, если высота призмы равна $4$ см.

Поскольку цилиндр вписан в призму, его высота $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{пр}$, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

Высота призмы по условию равна 4 см, следовательно, высота цилиндра также равна 4 см:
$H_{цил} = 4$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра $D_{цил}$ и его высоте $H_{цил}$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил}$

Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба $h_{ромб}$. Высоту ромба можно найти, зная его сторону $a$ и острый угол $\alpha$. Площадь ромба можно выразить двумя способами: через сторону и высоту ($S_{ромб} = a \cdot h_{ромб}$) и через сторону и угол между сторонами ($S_{ромб} = a^2 \cdot \sin \alpha$).
Приравняв эти выражения ($a \cdot h_{ромб} = a^2 \cdot \sin \alpha$), получим формулу для высоты:
$h_{ромб} = a \cdot \sin \alpha$

Подставим данные из условия: сторона ромба $a = 10\sqrt{2}$ см и угол $\alpha = 45^\circ$.
$h_{ромб} = 10\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10$ см.

Таким образом, диаметр основания вписанного цилиндра равен высоте ромба:
$D_{цил} = h_{ромб} = 10$ см.

Теперь вычислим площадь осевого сечения цилиндра:
$S_{сеч} = D_{цил} \cdot H_{цил} = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 40$ см².

Ответ: 40 см².

8.14. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а ее высота равна $h$. Высоты обоих цилиндров (описанного и вписанного) будут равны высоте призмы $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi Rh$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота.

1. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

Радиус $R_1$ основания описанного цилиндра равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника в основании призмы. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен его стороне.

$R_1 = a$

Тогда площадь боковой поверхности описанного цилиндра $S_1$ равна:

$S_1 = 2\pi R_1 h = 2\pi a h$

2. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму.

Радиус $R_2$ основания вписанного цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Этот радиус равен апофеме шестиугольника (высоте равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник).

$R_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Тогда площадь боковой поверхности вписанного цилиндра $S_2$ равна:

$S_2 = 2\pi R_2 h = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) h = \pi a h \sqrt{3}$

3. Найдем отношение площадей.

Искомое отношение равно $\frac{S_1}{S_2}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi a h}{\pi a h \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

8.15. Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна $a$, а высота равна $H$.

Осевое сечение любого цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра, а другая — его высоте. Так как оба цилиндра (описанный и вписанный) связаны с одной и той же призмой, их высоты равны высоте призмы $H$.

1. Цилиндр, описанный около призмы.
Основание этого цилиндра — окружность, описанная около правильного треугольника (основания призмы). Радиус этой окружности, обозначим его $R$, равен радиусу описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$.
Формула для радиуса описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Площадь осевого сечения описанного цилиндра $S_{опис}$ равна произведению его высоты $H$ на диаметр основания $2R$:
$S_{опис} = 2R \cdot H = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot H = \frac{2a\sqrt{3}}{3} H$.

2. Цилиндр, вписанный в призму.
Основание этого цилиндра — окружность, вписанная в правильный треугольник (основание призмы). Радиус этой окружности, обозначим его $r$, равен радиусу вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$.
Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Площадь осевого сечения вписанного цилиндра $S_{впис}$ равна произведению его высоты $H$ на диаметр основания $2r$:
$S_{впис} = 2r \cdot H = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot H = \frac{a\sqrt{3}}{3} H$.

3. Нахождение отношения площадей.
Найдем отношение площади осевого сечения описанного цилиндра к площади осевого сечения вписанного цилиндра:$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3} H}{\frac{a\sqrt{3}}{3} H}$.
Сократив одинаковые множители $\frac{a\sqrt{3}}{3} H$, получаем:
$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = 2$.

Замечание: можно было решить задачу проще, зная, что для правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности ($R=2r$). Тогда отношение площадей осевых сечений:
$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{2R \cdot H}{2r \cdot H} = \frac{R}{r} = \frac{2r}{r} = 2$.

Ответ: 2.

8.16. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим углом $\alpha$. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Для решения задачи необходимо последовательно найти гипотенузу прямоугольного треугольника в основании, затем радиус основания и высоту описанного цилиндра, и в конце вычислить его площадь боковой поверхности.

1. Нахождение гипотенузы основания призмы

Пусть в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Обозначим гипотенузу как $c$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Из этого соотношения выразим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

2. Нахождение радиуса основания описанного цилиндра

Цилиндр описан около призмы, следовательно, его основанием является круг, описанный около треугольника, лежащего в основании призмы. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$

3. Нахождение высоты призмы (и цилиндра)

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Эта диагональ, гипотенуза основания $c$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник (так как у прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основанию). В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а гипотенуза основания $c$ — прилежащим катетом.

По определению тангенса:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{c}$

Выразим высоту $H$, которая также является высотой описанного цилиндра:

$H = c \cdot \tan(\beta) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \tan(\beta)$

4. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$. Подставим в нее найденные выражения для радиуса $R$ и высоты $H$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{a \cdot \tan(\beta)}{\sin(\alpha)}\right)$

Сократим и упростим полученное выражение:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{a \cdot \tan(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin^2(\alpha)}$

8.17. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а ее высота — $h$. Основание призмы — равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности призмы $S$ равна произведению периметра основания ($P=3a$) на высоту $h$. Таким образом, $S = 3ah$, откуда следует, что $ah = \frac{S}{3}$.

Так как цилиндр описан около призмы, его высота равна высоте призмы $h$, а его основание — это круг, описанный около основания призмы. Радиус $R$ этого круга (и основания цилиндра) для равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D=2R$ и высоте цилиндра $h$. Его площадь $S_{сеч}$ равна $S_{сеч} = D \cdot h = 2R \cdot h$.

Подставим выражение для радиуса $R$ в формулу площади сечения: $S_{сеч} = 2 \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) h = \frac{2ah}{\sqrt{3}}$.

Теперь заменим произведение $ah$ на его выражение через $S$: $S_{сеч} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \left(\frac{S}{3}\right) = \frac{2S}{3\sqrt{3}}$.

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем окончательный результат: $S_{сеч} = \frac{2S \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}S}{9}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}S}{9}$

8.18. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна $h$, а площадь боковой поверхности — $S$. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы.

Пусть основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными $a$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза этого треугольника равна $c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Периметр основания призмы $P$ равен сумме длин его сторон:$P = a + a + a\sqrt{2} = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S$ вычисляется по формуле $S = P \cdot h$, где $h$ - высота призмы. Подставив выражение для периметра, получим:$S = a(2 + \sqrt{2})h$.

Из этого уравнения выразим катет $a$:$a = \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})}$.

Цилиндр описан около призмы. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании призмы.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы:$R = \frac{c}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $a$ в формулу для радиуса $R$:$R = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})}$.

Упростим полученное выражение. Вынесем $\sqrt{2}$ в знаменателе за скобки:$R = \frac{S\sqrt{2}}{2h(2 + \sqrt{2})} = \frac{S\sqrt{2}}{2h\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{S}{2h(\sqrt{2} + 1)}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:$R = \frac{S}{2h(\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h(2 - 1)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}$.

Ответ: $R = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}$

8.19. Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, равна $m$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Поскольку в призму можно вписать цилиндр, то призма является прямой. Основания цилиндра — это окружности, вписанные в основания призмы (равнобедренные треугольники). Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы, а радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник в основании призмы.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$. Для решения задачи необходимо найти высоту $h$ и радиус $r$.

1. Нахождение высоты призмы и боковой стороны основания

Пусть основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Рассмотрим боковую грань, проходящую через боковую сторону $BC$. Это прямоугольник $BCC'B'$. Его диагональ $BC'$ по условию равна $m$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю $BC'$ и ее проекцией на плоскость основания, которой является сторона $BC$. Таким образом, угол $\angle C'BC = \beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $C'BC$ (угол $\angle BCC' = 90^\circ$, так как призма прямая). Высота призмы $h$ (она же высота цилиндра) является катетом $CC'$: $h = CC' = BC' \cdot \sin(\angle C'BC) = m \sin(\beta)$. Боковая сторона треугольника в основании, $BC$, является другим катетом: $BC = BC' \cdot \cos(\angle C'BC) = m \cos(\beta)$.

2. Нахождение радиуса окружности, вписанной в основание

Радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, можно найти несколькими способами. Обозначим боковую сторону $b = BC = m \cos(\beta)$, а основание $a = AC$. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она также является медианой и биссектрисой. Из прямоугольного треугольника $BHC$: $HC = BC \cdot \cos(\alpha) = b \cos(\alpha)$. Тогда основание $a = AC = 2 \cdot HC = 2b \cos(\alpha)$.

Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте (и биссектрисе) $BH$. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Тогда $OK \perp BC$ и $OK=r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKC$. Угол $\angle OCK$ равен половине угла $\angle BCA$, так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Следовательно, $\angle OCK = \frac{\alpha}{2}$. Длина отрезка $CK$ равна длине отрезка от вершины $C$ до точки касания с основанием $AC$, то есть до точки $H$. $CK = CH = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2} = b \cos(\alpha)$. Из треугольника $OKC$ находим радиус $r$: $r = OK = CK \cdot \tan(\angle OCK) = (b \cos(\alpha)) \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$. Подставим найденное ранее выражение для $b$: $r = (m \cos(\beta) \cos(\alpha)) \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = m \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $r$ и высоту $h$, мы можем найти площадь боковой поверхности вписанного цилиндра. $S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot (m \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})) \cdot (m \sin(\beta))$. $S_{бок} = 2 \pi m^2 \sin(\beta) \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$. Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta)$, упростим выражение: $S_{бок} = \pi m^2 \sin(2\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $\pi m^2 \sin(2\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

8.20. Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами. Диагональ грани, проходящей через основание треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Для нахождения площади боковой поверхности вписанного цилиндра ($S_{бок}$) нам необходимо найти его высоту ($h$) и радиус основания ($r$). Формула площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

1. Нахождение высоты призмы и стороны основания треугольника.

По условию, в призму вписан цилиндр, это означает, что призма прямая. Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы.

Рассмотрим грань призмы, которая проходит через основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Эта грань является прямоугольником $ACC'A'$. Диагональ этой грани $AC'$ имеет длину $d$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю $AC'$ и её проекцией на это основание, то есть стороной $AC$. Таким образом, угол $\angle C'AC = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC'C$. В нём гипотенуза $AC' = d$, катет $CC'$ — это высота призмы $h$, а катет $AC$ — это основание равнобедренного треугольника $ABC$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота призмы (и цилиндра): $h = CC' = AC' \sin(\beta) = d \sin(\beta)$.

Основание треугольника $ABC$: $AC = AC' \cos(\beta) = d \cos(\beta)$.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра.

Основание цилиндра — это круг, вписанный в треугольник $ABC$ в основании призмы. Нам нужно найти радиус $r$ этой вписанной окружности.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с углом $\alpha$ при вершине $B$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной окружности (инцентр) лежит на пересечении биссектрис. Проведём высоту и биссектрису $BM$ к основанию $AC$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на $BM$. Радиус $r$ — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из центра $O$ на сторону $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$.

Катет $AM$ равен половине основания $AC$: $AM = \frac{AC}{2} = \frac{d \cos(\beta)}{2}$.

Биссектриса $AO$ делит угол $\angle A$ пополам, поэтому $\angle OAM = \frac{\angle A}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Из треугольника $AOM$ имеем: $\tan(\angle OAM) = \frac{OM}{AM}$.

Отсюда находим радиус $r$: $r = OM = AM \cdot \tan(\angle OAM) = \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь у нас есть все необходимые величины для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

$h = d \sin(\beta)$

$r = \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Подставляем их в формулу $S_{бок} = 2 \pi r h$:

$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})\right) (d \sin(\beta))$

$S_{бок} = \pi d^2 \sin(\beta) \cos(\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, можно упростить выражение:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 (2\sin(\beta)\cos(\beta)) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin(2\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin(2\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

8.21. Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с углом $\alpha$, равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть призма является прямой, так как в нее можно вписать цилиндр. Высота призмы равна $H$, а сторона ромба в основании равна $a$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$.

Периметр ромба со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.

Следовательно, площадь боковой поверхности призмы: $S = P_{осн} \cdot H = 4aH$.

Поскольку цилиндр вписан в призму, его высота $h_{цил}$ равна высоте призмы $H$, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба $h_{ромб}$. Высота ромба, в свою очередь, выражается через его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:

$h_{ромб} = a \cdot \sin(\alpha)$

Тогда радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле $S_{цил} = 2\pi r h_{цил}$. Подставим наши значения $r$ и $h_{цил} = H$:

$S_{цил} = 2\pi \cdot \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right) \cdot H = \pi a H \sin(\alpha)$

Из формулы для площади боковой поверхности призмы $S = 4aH$ мы можем выразить произведение $aH$:

$aH = \frac{S}{4}$

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{цил} = \pi \cdot (aH) \cdot \sin(\alpha) = \pi \cdot \frac{S}{4} \cdot \sin(\alpha) = \frac{\pi S \sin(\alpha)}{4}$

Ответ: $\frac{\pi S \sin(\alpha)}{4}$