Номер 8.15, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.15. Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна $a$, а высота равна $H$.

Осевое сечение любого цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра, а другая — его высоте. Так как оба цилиндра (описанный и вписанный) связаны с одной и той же призмой, их высоты равны высоте призмы $H$.

1. Цилиндр, описанный около призмы.
Основание этого цилиндра — окружность, описанная около правильного треугольника (основания призмы). Радиус этой окружности, обозначим его $R$, равен радиусу описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$.
Формула для радиуса описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Площадь осевого сечения описанного цилиндра $S_{опис}$ равна произведению его высоты $H$ на диаметр основания $2R$:
$S_{опис} = 2R \cdot H = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot H = \frac{2a\sqrt{3}}{3} H$.

2. Цилиндр, вписанный в призму.
Основание этого цилиндра — окружность, вписанная в правильный треугольник (основание призмы). Радиус этой окружности, обозначим его $r$, равен радиусу вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$.
Формула для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Площадь осевого сечения вписанного цилиндра $S_{впис}$ равна произведению его высоты $H$ на диаметр основания $2r$:
$S_{впис} = 2r \cdot H = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot H = \frac{a\sqrt{3}}{3} H$.

3. Нахождение отношения площадей.
Найдем отношение площади осевого сечения описанного цилиндра к площади осевого сечения вписанного цилиндра:$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3} H}{\frac{a\sqrt{3}}{3} H}$.
Сократив одинаковые множители $\frac{a\sqrt{3}}{3} H$, получаем:
$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = 2$.

Замечание: можно было решить задачу проще, зная, что для правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности ($R=2r$). Тогда отношение площадей осевых сечений:
$\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{2R \cdot H}{2r \cdot H} = \frac{R}{r} = \frac{2r}{r} = 2$.

Ответ: 2.