Номер 8.16, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.16. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим углом $\alpha$. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Для решения задачи необходимо последовательно найти гипотенузу прямоугольного треугольника в основании, затем радиус основания и высоту описанного цилиндра, и в конце вычислить его площадь боковой поверхности.

1. Нахождение гипотенузы основания призмы

Пусть в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Обозначим гипотенузу как $c$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Из этого соотношения выразим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

2. Нахождение радиуса основания описанного цилиндра

Цилиндр описан около призмы, следовательно, его основанием является круг, описанный около треугольника, лежащего в основании призмы. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{2\sin(\alpha)}$

3. Нахождение высоты призмы (и цилиндра)

Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Эта диагональ, гипотенуза основания $c$ и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник (так как у прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основанию). В этом треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а гипотенуза основания $c$ — прилежащим катетом.

По определению тангенса:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{c}$

Выразим высоту $H$, которая также является высотой описанного цилиндра:

$H = c \cdot \tan(\beta) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \tan(\beta)$

4. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$. Подставим в нее найденные выражения для радиуса $R$ и высоты $H$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{2\sin(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{a \cdot \tan(\beta)}{\sin(\alpha)}\right)$

Сократим и упростим полученное выражение:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{a \cdot \tan(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin^2(\alpha)}$