Номер 8.14, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.14. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а ее высота равна $h$. Высоты обоих цилиндров (описанного и вписанного) будут равны высоте призмы $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi Rh$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота.

1. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы.

Радиус $R_1$ основания описанного цилиндра равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника в основании призмы. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен его стороне.

$R_1 = a$

Тогда площадь боковой поверхности описанного цилиндра $S_1$ равна:

$S_1 = 2\pi R_1 h = 2\pi a h$

2. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму.

Радиус $R_2$ основания вписанного цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Этот радиус равен апофеме шестиугольника (высоте равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник).

$R_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Тогда площадь боковой поверхности вписанного цилиндра $S_2$ равна:

$S_2 = 2\pi R_2 h = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) h = \pi a h \sqrt{3}$

3. Найдем отношение площадей.

Искомое отношение равно $\frac{S_1}{S_2}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi a h}{\pi a h \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$