Номер 8.20, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.20. Основание призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами. Диагональ грани, проходящей через основание треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Для нахождения площади боковой поверхности вписанного цилиндра ($S_{бок}$) нам необходимо найти его высоту ($h$) и радиус основания ($r$). Формула площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

1. Нахождение высоты призмы и стороны основания треугольника.

По условию, в призму вписан цилиндр, это означает, что призма прямая. Высота цилиндра $h$ равна высоте призмы.

Рассмотрим грань призмы, которая проходит через основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Эта грань является прямоугольником $ACC'A'$. Диагональ этой грани $AC'$ имеет длину $d$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю $AC'$ и её проекцией на это основание, то есть стороной $AC$. Таким образом, угол $\angle C'AC = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC'C$. В нём гипотенуза $AC' = d$, катет $CC'$ — это высота призмы $h$, а катет $AC$ — это основание равнобедренного треугольника $ABC$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота призмы (и цилиндра): $h = CC' = AC' \sin(\beta) = d \sin(\beta)$.

Основание треугольника $ABC$: $AC = AC' \cos(\beta) = d \cos(\beta)$.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра.

Основание цилиндра — это круг, вписанный в треугольник $ABC$ в основании призмы. Нам нужно найти радиус $r$ этой вписанной окружности.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с углом $\alpha$ при вершине $B$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной окружности (инцентр) лежит на пересечении биссектрис. Проведём высоту и биссектрису $BM$ к основанию $AC$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на $BM$. Радиус $r$ — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из центра $O$ на сторону $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$.

Катет $AM$ равен половине основания $AC$: $AM = \frac{AC}{2} = \frac{d \cos(\beta)}{2}$.

Биссектриса $AO$ делит угол $\angle A$ пополам, поэтому $\angle OAM = \frac{\angle A}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Из треугольника $AOM$ имеем: $\tan(\angle OAM) = \frac{OM}{AM}$.

Отсюда находим радиус $r$: $r = OM = AM \cdot \tan(\angle OAM) = \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь у нас есть все необходимые величины для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

$h = d \sin(\beta)$

$r = \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Подставляем их в формулу $S_{бок} = 2 \pi r h$:

$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})\right) (d \sin(\beta))$

$S_{бок} = \pi d^2 \sin(\beta) \cos(\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, можно упростить выражение:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 (2\sin(\beta)\cos(\beta)) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin(2\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin(2\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.