Номер 8.26, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.26. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, острый угол $A$ которого равен $\alpha$, а диагональ $BD$ равна $d$. Плоскость $BC_1D$ образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. В случае цилиндра, вписанного в прямую призму, его высота $H$ равна высоте призмы, а радиус $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы (в данном случае — в ромб $ABCD$).

1. Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности.

Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба $h$. Таким образом, $r = h/2$.
Площадь ромба можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h$: $S = ah$. Также площадь ромба равна $S = a^2 \sin \alpha$. Приравнивая эти два выражения, получаем, что высота ромба $h = a \sin \alpha$.
Найдем сторону ромба $a$. Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
$d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \alpha = 2a^2(1 - \cos \alpha)$
Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos \alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:
$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4a^2\sin^2(\alpha/2)$
Отсюда $d = 2a\sin(\alpha/2)$, и сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)}$.
Теперь найдем высоту ромба $h$:
$h = a \sin \alpha = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot \sin \alpha$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:
$h = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = d \cos(\alpha/2)$.
Следовательно, радиус вписанной окружности равен:
$r = \frac{h}{2} = \frac{d}{2}\cos(\alpha/2)$.

2. Найдем высоту призмы $H$.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы, $H = CC_1$.
Плоскость $BC_1D$ образует с плоскостью основания $ABCD$ двугранный угол $\beta$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$.
Для нахождения линейного угла этого двугранного угла опустим перпендикуляры на ребро $BD$ в каждой из плоскостей из одной точки. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. В ромбе диагонали перпендикулярны, следовательно, $CO \perp BD$.
Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, $CC_1 \perp BD$.
Так как прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CO$ и $CC_1$ в плоскости $ACC_1$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $BD \perp C_1O$.
Таким образом, $\angle C_1OC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $BC_1D$ и $ABCD$, то есть $\angle C_1OC = \beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1CO$ (угол $\angle C$ прямой). В нем $H = CC_1$. Из определения тангенса: $\tan(\angle C_1OC) = \frac{CC_1}{CO}$, откуда $H = CO \cdot \tan \beta$.
Найдем длину $CO$. В ромбе $CO = AO$. В прямоугольном треугольнике $AOB$: $BO = BD/2 = d/2$, а $\angle BAO = \angle A / 2 = \alpha/2$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO}$, откуда
$AO = \frac{BO}{\tan(\alpha/2)} = \frac{d/2}{\tan(\alpha/2)} = \frac{d}{2}\cot(\alpha/2)$.
Значит, $CO = \frac{d}{2}\cot(\alpha/2)$.
Теперь можем найти высоту призмы:
$H = CO \cdot \tan \beta = \frac{d}{2}\cot(\alpha/2)\tan \beta$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.

Подставим найденные значения $r$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2\pi r H = 2\pi \cdot \left(\frac{d}{2}\cos(\alpha/2)\right) \cdot \left(\frac{d}{2}\cot(\alpha/2)\tan \beta\right)$
$S_{бок} = 2\pi \frac{d^2}{4} \cos(\alpha/2) \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \tan \beta$
$S_{бок} = \frac{\pi d^2 \cos^2(\alpha/2) \tan \beta}{2\sin(\alpha/2)}$.

Ответ: $\frac{\pi d^2 \cos^2(\alpha/2) \tan \beta}{2\sin(\alpha/2)}$