Номер 8.29, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.29. Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Вершины $A$ и $A_1$ лежат на боковой поверхности цилиндра. Плоскость $BCC_1$ касается боковой поверхности цилиндра. Ось цилиндра параллельна прямой $B_1C$. Найдите радиус основания цилиндра.

Введем систему координат. Пусть начало координат находится в вершине B. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BC$, ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$. Тогда ось $Oy$ будет перпендикулярна грани $BCC_1B_1$.

Поскольку призма правильная и все ее ребра равны $a$, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Высота этого треугольника равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты вершин призмы будут следующими:

$B(0, 0, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $A(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$

$B_1(0, 0, a)$, $C_1(a, 0, a)$, $A_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$

Пусть $L$ — ось цилиндра, а $R$ — его радиус. По условию, ось цилиндра параллельна прямой $B_1C$. Найдем вектор-направляющий для прямой $B_1C$:

$\vec{v} = \vec{C} - \vec{B_1} = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$.

В качестве вектор-направляющего для оси $L$ можно взять коллинеарный вектор $\vec{u} = (1, 0, -1)$.

Пусть ось $L$ проходит через точку $P_0(x_0, y_0, z_0)$. Тогда параметрическое уравнение оси $L$ имеет вид: $(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t(1, 0, -1)$.

Теперь используем условия задачи для нахождения параметров оси и радиуса.

1. Вершины A и A₁ лежат на боковой поверхности цилиндра.

Это означает, что расстояние от точек $A$ и $A_1$ до оси $L$ равно радиусу $R$. Расстояние от точки $Q$ до прямой, проходящей через $P_0$ с направляющим вектором $\vec{u}$, вычисляется по формуле:

$d(Q, L) = \frac{|\vec{P_0Q} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

У нас $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Для точки $A(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$: $\vec{P_0A} = (a/2 - x_0, a\sqrt{3}/2 - y_0, -z_0)$.

$\vec{P_0A} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 - x_0 & a\sqrt{3}/2 - y_0 & -z_0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-(a\sqrt{3}/2 - y_0), a/2 - x_0 - z_0, -(a\sqrt{3}/2 - y_0))$

$R^2 = d(A, L)^2 = \frac{1}{2} ( (y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - x_0 - z_0)^2 + (y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 ) = \frac{1}{2} ( 2(y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - x_0 - z_0)^2 )$. (1)

Для точки $A_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$: $\vec{P_0A_1} = (a/2 - x_0, a\sqrt{3}/2 - y_0, a - z_0)$.

$\vec{P_0A_1} \times \vec{u} = (-(a\sqrt{3}/2 - y_0), (a - z_0) - (-(a/2 - x_0)), -(a\sqrt{3}/2 - y_0)) = (y_0 - a\sqrt{3}/2, 3a/2 - x_0 - z_0, y_0 - a\sqrt{3}/2)$

$R^2 = d(A_1, L)^2 = \frac{1}{2} ( 2(y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 + (3a/2 - x_0 - z_0)^2 )$. (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:

$(a/2 - x_0 - z_0)^2 = (3a/2 - x_0 - z_0)^2$

Пусть $K = x_0 + z_0$. Тогда $(a/2 - K)^2 = (3a/2 - K)^2$. Это равенство выполняется, если $a/2 - K = \pm(3a/2 - K)$.

Вариант $a/2 - K = 3a/2 - K$ приводит к $a/2 = 3a/2$, что невозможно при $a \neq 0$.

Значит, $a/2 - K = -(3a/2 - K) = K - 3a/2$.

$2K = a/2 + 3a/2 = 2a \implies K = a$.

Таким образом, мы получили первое соотношение для координат точки на оси: $x_0 + z_0 = a$.

2. Плоскость BCC₁ касается боковой поверхности цилиндра.

Это означает, что расстояние от оси $L$ до плоскости $(BCC_1)$ равно радиусу $R$.

Плоскость $(BCC_1)$ в нашей системе координат определяется уравнением $y=0$.

Расстояние от оси $L$ до плоскости $(BCC_1)$ равно расстоянию от любой точки на оси до этой плоскости, так как ось параллельна плоскости (вектор-направляющий оси $\vec{u}=(1,0,-1)$ ортогонален нормали к плоскости $\vec{n}=(0,1,0)$, их скалярное произведение равно 0).

Возьмем точку $P_0(x_0, y_0, z_0)$ на оси. Расстояние до плоскости $y=0$ равно $|y_0|$.

Так как призма находится в полупространстве $y \ge 0$, а плоскость ее касается, то ось цилиндра также должна находиться в этом полупространстве. Следовательно, $y_0 > 0$.

Таким образом, $R = y_0$.

3. Нахождение радиуса.

Подставим найденные соотношения $x_0 + z_0 = a$ и $y_0 = R$ в уравнение (1):

$2R^2 = 2(R - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - (x_0 + z_0))^2$

$2R^2 = 2(R - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - a)^2$

$2R^2 = 2(R^2 - a\sqrt{3}R + \frac{3a^2}{4}) + (-\frac{a}{2})^2$

$2R^2 = 2R^2 - 2a\sqrt{3}R + \frac{3a^2}{2} + \frac{a^2}{4}$

$0 = -2a\sqrt{3}R + \frac{6a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

$2a\sqrt{3}R = \frac{7a^2}{4}$

Так как $a \neq 0$, делим обе части на $a$:

$2\sqrt{3}R = \frac{7a}{4}$

$R = \frac{7a}{8\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}a}{8 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{3}a}{24}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{3}a}{24}$