Номер 9.3, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.3. Высота конуса равна $H$, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь:

1) осевого сечения конуса;

2) боковой поверхности конуса.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус основания как $R$, а образующую как $L$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), радиусом $R$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$) и образующей $L$ (гипотенуза).
Из тригонометрических соотношений в этом треугольнике мы можем выразить $R$ и $L$ через $H$ и $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{R} \implies R = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$
$\sin(\alpha) = \frac{H}{L} \implies L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

1) осевого сечения конуса;

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$).
Площадь осевого сечения ($S_{ос.сеч.}$) вычисляется по формуле:
$S_{ос.сеч.} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$
Подставим ранее найденное выражение для $R$:
$S_{ос.сеч.} = (H \cot(\alpha)) \cdot H = H^2 \cot(\alpha)$
Ответ: $H^2 \cot(\alpha)$.

2) боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок.}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок.} = \pi R L$
Подставим выражения для $R$ и $L$, которые мы нашли ранее:
$R = H \cot(\alpha)$
$L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$
$S_{бок.} = \pi \cdot (H \cot(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{\pi H^2 \cot(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
Поскольку $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, мы можем упростить выражение:
$S_{бок.} = \frac{\pi H^2 \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi H^2 \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$
Ответ: $\frac{\pi H^2 \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.