Номер 9.9, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.9. Точка $M$ — вершина конуса, точка $O$ — центр его основания, точка $A$ принадлежит основанию конуса, точка $B$ принадлежит отрезку $MO$ (рис. 9.10). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью конуса.

Рис. 9.10

Для построения точки пересечения прямой AB с боковой поверхностью конуса воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую AB и вершину конуса M. Эта плоскость однозначно задается тремя точками: A, B и M.

Поскольку точка B, согласно условию, принадлежит отрезку MO (оси конуса), то точки M, B, O лежат на одной прямой. Это означает, что плоскость (ABM) совпадает с плоскостью (AOM). Плоскость (AOM) проходит через ось конуса MO, а значит, является плоскостью осевого сечения конуса.

Выполним построение:

1. Построим осевое сечение конуса, проходящее через точку A. Для этого проведем прямую через точку A и центр основания O до ее пересечения с окружностью основания в диаметрально противоположной точке. Обозначим эту точку A'.
2. Полученный треугольник $\triangle MAA'$ является осевым сечением конуса. Его стороны MA и MA' — это образующие конуса, лежащие в этой плоскости.
3. Прямая AB также лежит в плоскости этого сечения, так как точки A, B и M лежат в этой плоскости.
4. Для нахождения точки пересечения прямой AB с боковой поверхностью конуса достаточно найти точку пересечения прямой AB с одной из образующих, лежащих в этой же плоскости (MA или MA').
5. Проведем прямую через точки A и B. Точка пересечения этой прямой с образующей MA и будет искомой точкой. Обозначим эту точку K.

Точка K принадлежит прямой AB (по построению) и одновременно принадлежит образующей MA, которая является частью боковой поверхности конуса. Таким образом, точка K является искомой точкой пересечения.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой AB и образующей MA, которая лежит в плоскости осевого сечения конуса, проходящего через точку A.