Номер 9.10, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.10. В основании конуса проведена хорда длиной $a$, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите высоту конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания. Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике этот угол является острым углом между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом). Следовательно, мы можем записать соотношение:

$\tan \beta = \frac{H}{R}$

Отсюда высота конуса выражается как:

$H = R \tan \beta$

Теперь найдем радиус основания $R$. В основании конуса лежит круг. В этом круге проведена хорда длиной $a$, которая стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$. Соответствующий этой дуге центральный угол также равен $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам. Боковые стороны этого треугольника равны $R$, основание равно $a$, а угол при вершине (в центре круга) равен $\alpha$.

Проведем в этом треугольнике высоту из центра круга к хорде. Эта высота является также биссектрисой и медианой. Она делит хорду пополам (на два отрезка длиной $a/2$) и центральный угол пополам (на два угла величиной $\alpha/2$). В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенузой является радиус $R$, а катетом, противолежащим углу $\alpha/2$, является половина хорды $a/2$.

Из определения синуса в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{R}$

Выразим отсюда радиус $R$:

$R = \frac{a/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}$

Наконец, подставим найденное выражение для $R$ в формулу для высоты $H$:

$H = R \tan \beta = \left( \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} \right) \cdot \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin(\alpha/2)}$

Ответ: $\frac{a \tan \beta}{2 \sin(\alpha/2)}$