Номер 9.17, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.17. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a = 9$ см, $b = 6$ см и высотой $h = 4$ см. Вращение происходит вокруг большего основания $a$.

Тело, полученное в результате вращения, состоит из цилиндра и конуса, имеющих общее основание. Полная площадь поверхности этого тела складывается из трех частей:

1. Площади круга, который является основанием цилиндра (образуется вращением высоты трапеции).
2. Площади боковой поверхности цилиндра (образуется вращением меньшего основания трапеции).
3. Площади боковой поверхности конуса (образуется вращением наклонной стороны трапеции).

Найдем площадь каждой из этих частей.

Радиус основания как для цилиндра, так и для конуса, равен высоте трапеции: $r = h = 4$ см.

1. Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле $S_1 = \pi r^2$.
$S_1 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

2. Высота цилиндрической части тела равна длине меньшего основания трапеции: $h_{\text{цил}} = b = 6$ см. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_2 = 2\pi r h_{\text{цил}}$.
$S_2 = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi$ см².

3. Для нахождения площади боковой поверхности конуса необходимо найти длину его образующей $l$, которая является наклонной стороной трапеции. Высота конуса равна разности оснований трапеции: $h_{\text{кон}} = a - b = 9 - 6 = 3$ см. По теореме Пифагора находим образующую:

$l = \sqrt{r^2 + h_{\text{кон}}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_3 = \pi r l$.
$S_3 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$ см².

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей этих трех частей:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 16\pi + 48\pi + 20\pi = 84\pi$ см².

Ответ: $84\pi$ см².