Номер 9.24, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.24. Из круга вырезали сектор, представляющий собой четверть круга. Из этого сектора и из оставшейся части круга изготовили боковые поверхности двух конусов. Найдите отношение высот конусов с этими боковыми поверхностями.

Пусть $R$ — радиус исходного круга. При изготовлении боковой поверхности конуса из сектора круга радиус сектора становится образующей конуса. Таким образом, для обоих конусов образующая $l$ будет равна $R$.

1. Найдем параметры первого конуса, изготовленного из сектора, составляющего четверть круга.

Длина дуги этого сектора $L_1$ равна четверти длины окружности исходного круга:$L_1 = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2}$.

Эта длина дуги становится длиной окружности основания первого конуса. Пусть радиус основания первого конуса равен $r_1$. Тогда:$2\pi r_1 = L_1 = \frac{\pi R}{2}$. Отсюда находим $r_1$:$r_1 = \frac{\pi R}{2 \cdot 2\pi} = \frac{R}{4}$.

Высота конуса $h_1$, радиус его основания $r_1$ и образующая $l_1$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $l_1^2 = h_1^2 + r_1^2$. Так как $l_1 = R$, получаем:$R^2 = h_1^2 + (\frac{R}{4})^2$.$h_1^2 = R^2 - \frac{R^2}{16} = \frac{16R^2 - R^2}{16} = \frac{15R^2}{16}$.$h_1 = \sqrt{\frac{15R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{15}}{4}$.

2. Найдем параметры второго конуса, изготовленного из оставшейся части круга.

Оставшаяся часть круга составляет $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от всего круга. Длина дуги этого сектора $L_2$:$L_2 = \frac{3}{4} \cdot 2\pi R = \frac{3\pi R}{2}$.

Эта длина дуги становится длиной окружности основания второго конуса. Пусть радиус основания второго конуса равен $r_2$. Тогда:$2\pi r_2 = L_2 = \frac{3\pi R}{2}$. Отсюда находим $r_2$:$r_2 = \frac{3\pi R}{2 \cdot 2\pi} = \frac{3R}{4}$.

Аналогично первому конусу, найдем высоту $h_2$ по теореме Пифагора, зная, что образующая $l_2 = R$:$R^2 = h_2^2 + (\frac{3R}{4})^2$.$h_2^2 = R^2 - \frac{9R^2}{16} = \frac{16R^2 - 9R^2}{16} = \frac{7R^2}{16}$.$h_2 = \sqrt{\frac{7R^2}{16}} = \frac{R\sqrt{7}}{4}$.

3. Найдем отношение высот конусов.

Найдем отношение высоты первого конуса (из четверти круга) к высоте второго конуса (из оставшейся части):$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{R\sqrt{15}}{4}}{\frac{R\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{15}{7}}$.

Отношение высоты второго конуса к высоте первого будет обратным:$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{7}{15}}$.

В задаче не указан порядок, в котором нужно брать отношение, поэтому возможны оба варианта. Обычно подразумевается отношение в том порядке, в котором объекты упоминаются в условии.

Ответ: $\sqrt{\frac{15}{7}}$ или $\sqrt{\frac{7}{15}}$.