Номер 9.27, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.27. Через две образующие конуса проведено сечение, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\alpha$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\beta$, а радиус основания конуса равен $R$. Найдите площадь этого сечения.

Пусть дан конус с вершиной S, центром основания O и радиусом основания R. Сечение проходит через две образующие SA и SB, где A и B — точки на окружности основания. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник SAB.

1. Рассмотрим осевое сечение и основные соотношения.

Угол между образующей, например SA, и плоскостью основания — это угол между SA и ее проекцией на основание, то есть радиусом OA. По условию, $ \angle SAO = \beta $. Треугольник SOA прямоугольный, так как SO — высота конуса. Из этого треугольника можем выразить высоту конуса H = SO и длину образующей L = SA:

$ H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = R \tan \beta $

$ L = SA = \frac{OA}{\cos(\angle SAO)} = \frac{R}{\cos \beta} $

2. Рассмотрим плоскость сечения.

Угол между плоскостью сечения (SAB) и плоскостью основания равен $ \alpha $. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Чтобы его построить, проведем высоту SH в треугольнике SAB к основанию AB. Затем из центра основания O проведем перпендикуляр OH к хорде AB. Так как треугольник OAB равнобедренный (OA = OB = R), OH также является его медианой. Угол $ \angle SHO $ и будет искомым линейным углом, то есть $ \angle SHO = \alpha $.

3. Найдем элементы сечения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOH (SO — высота конуса, поэтому $ SO \perp OH $). Из него найдем высоту сечения SH и длину отрезка OH:

Из $ \sin(\angle SHO) = \frac{SO}{SH} $, получаем высоту сечения:

$ SH = \frac{SO}{\sin \alpha} = \frac{R \tan \beta}{\sin \alpha} $

Из $ \tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} $, получаем расстояние от центра до хорды:

$ OH = \frac{SO}{\tan \alpha} = \frac{R \tan \beta}{\tan \alpha} = R \tan \beta \cot \alpha $

4. Найдем основание сечения.

Рассмотрим треугольник OAB в основании конуса. Он равнобедренный, OH — его высота. Из прямоугольного треугольника OHA по теореме Пифагора найдем половину хорды AB:

$ AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{R^2 - (R \tan \beta \cot \alpha)^2} = R\sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

Длина всего основания сечения AB равна:

$ AB = 2 \cdot AH = 2R\sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

5. Вычислим площадь сечения.

Площадь треугольника SAB вычисляется по формуле: $ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} $.

$ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH $

Подставим найденные значения AB и SH:

$ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot \left( 2R\sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} \right) \cdot \left( \frac{R \tan \beta}{\sin \alpha} \right) $

$ S_{SAB} = \frac{R^2 \tan \beta}{\sin \alpha} \sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $

Для того чтобы задача имела решение, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha \ge 0 $, что означает $ \tan^2 \alpha \ge \tan^2 \beta $. Так как углы $ \alpha $ и $ \beta $ острые, это условие равносильно $ \alpha \ge \beta $.

Ответ: $ \frac{R^2 \tan \beta}{\sin \alpha} \sqrt{1 - \tan^2 \beta \cot^2 \alpha} $