Номер 9.30, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.30. Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ — образующие конуса, причём $MA \perp MB$, $MB \perp MC$, $MA \perp MC$, $MA=3$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $M$ — вершина конуса, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности его основания. Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются образующими конуса.

По определению конуса, все его образующие равны. Обозначим длину образующей как $l$. Из условия задачи нам дано, что $MA = 3$ см, следовательно, $l = MA = MB = MC = 3$ см.

Также по условию образующие попарно перпендикулярны: $MA \perp MB$, $MB \perp MC$ и $MA \perp MC$. Это означает, что треугольники $\triangle MAB$, $\triangle MBC$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными и равнобедренными, с катетами, равными длине образующей $l = 3$ см.

Найдем длины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$, которые являются сторонами треугольника, лежащего в основании конуса. Применим теорему Пифагора к каждому из прямоугольных треугольников:

В $\triangle MAB$: $AB^2 = MA^2 + MB^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Отсюда $AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

В $\triangle MBC$: $BC^2 = MB^2 + MC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Отсюда $BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

В $\triangle MAC$: $AC^2 = MA^2 + MC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. Отсюда $AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Поскольку $AB = BC = AC = 3\sqrt{2}$ см, треугольник $ABC$ является равносторонним. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса, значит, эта окружность является описанной около треугольника $ABC$.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $a = 3\sqrt{2}$ см.

$R = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$.

Подставим найденные значения $R = \sqrt{6}$ см и $l = 3$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot \sqrt{6} \cdot 3 = 3\pi\sqrt{6}$ см².

Ответ: $3\pi\sqrt{6}$ см².