Номер 9.36, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.36. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей возможной площади. Оказалось, что эта площадь в два раза больше площади осевого сечения. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Пусть $L$ — длина образующей конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $L$. Обозначим искомый угол между образующими в осевом сечении через $\alpha$.

Площадь осевого сечения ($S_{ос}$) вычисляется по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{ос} = \frac{1}{2} L \cdot L \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} L^2 \sin(\alpha)$

Любое сечение, проходящее через вершину конуса, также является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами, равными $L$. Площадь такого сечения ($S_{сеч}$) зависит от угла $\gamma$ между образующими, которые его формируют:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin(\gamma)$

Площадь сечения будет наибольшей, когда значение $\sin(\gamma)$ будет максимальным. Максимальный угол между двумя образующими конуса не может превышать угол в осевом сечении, то есть $\gamma \le \alpha$.

Рассмотрим два возможных случая для угла $\alpha$:

1. Если $\alpha \le 90^\circ$. На промежутке $(0, 90^\circ]$ функция синуса возрастает. Следовательно, максимальное значение $\sin(\gamma)$ достигается при самом большом возможном угле, то есть при $\gamma = \alpha$. В этом случае сечение наибольшей площади совпадает с осевым сечением: $S_{max} = S_{ос}$. Согласно условию задачи, $S_{max} = 2 \cdot S_{ос}$, что приводит к равенству $S_{ос} = 2 \cdot S_{ос}$. Это равенство верно только при $S_{ос} = 0$, что невозможно для реального конуса. Следовательно, этот случай не соответствует условию задачи.

2. Если $\alpha > 90^\circ$. На промежутке $(0, \alpha]$ функция $\sin(\gamma)$ достигает своего максимального значения, равного 1, при $\gamma = 90^\circ$. Так как $\alpha > 90^\circ$, то существует сечение, в котором образующие перпендикулярны. Это и будет сечение наибольшей возможной площади. Его площадь $S_{max}$ равна:

$S_{max} = \frac{1}{2} L^2 \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} L^2$

Теперь подставим выражения для $S_{max}$ и $S_{ос}$ в условие задачи $S_{max} = 2 \cdot S_{ос}$:

$\frac{1}{2} L^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} L^2 \sin(\alpha)\right)$

$\frac{1}{2} L^2 = L^2 \sin(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $L^2$ (поскольку $L > 0$):

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Нам нужно найти угол $\alpha$, который удовлетворяет двум условиям: $\sin(\alpha) = 1/2$ и $\alpha > 90^\circ$ (а также $\alpha < 180^\circ$, так как это угол треугольника). Единственным таким углом является $\alpha = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.