Номер 9.32, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.32. Отрезок $EF$ — средняя линия трапеции $ABCD$, в которой $BC \parallel AD$, $AB = BC = CD = a$, $AD = 2a$. Данная трапеция вращается вокруг прямой $EF$. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждой из сторон трапеции $ABCD$ вокруг средней линии $EF$.

1. Найдём высоту трапеции.Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, так как её боковые стороны равны ($AB = CD = a$). Проведём высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Четырёхугольник $HBCK$ — прямоугольник, поэтому $HK = BC = a$. Основания высот делят большее основание на отрезки $AH$, $HK$ и $KD$. Так как трапеция равнобедренная, $AH = KD$.

$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдём высоту трапеции $h = BH$:

$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Рассмотрим тело вращения.Средняя линия $EF$ параллельна основаниям $BC$ и $AD$ и находится на равном расстоянии от них. Это расстояние равно половине высоты трапеции:

$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

При вращении трапеции вокруг линии $EF$:

• Основание $BC$ образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ и высотой (длиной образующей), равной длине $BC=a$.
• Основание $AD$ образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ и высотой, равной длине $AD=2a$.
• Боковая сторона $AB$ вращается вокруг оси $EF$, проходящей через её середину $E$. В результате образуется поверхность, состоящая из двух одинаковых конусов с общей вершиной в точке $E$. Образующая каждого конуса равна $l = AE = EB = \frac{a}{2}$. Радиусы оснований этих конусов равны расстоянию от точек $A$ и $B$ до оси вращения $EF$, то есть $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
• Боковая сторона $CD$ по аналогии образует поверхность из двух таких же конусов с общей вершиной в точке $F$.

3. Вычислим площади поверхностей.

Площадь поверхности, образованной вращением стороны $BC$ ($S_{BC}$):

$S_{BC} = 2\pi r \cdot BC = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$

Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AD$ ($S_{AD}$):

$S_{AD} = 2\pi r \cdot AD = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \pi a^2\sqrt{3}$

Площадь поверхности, образованной вращением стороны $AB$ ($S_{AB}$), равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S_{AB} = 2 \cdot (\pi r l) = 2 \cdot \left(\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$

В силу симметрии, площадь поверхности, образованной вращением стороны $CD$ ($S_{CD}$), равна $S_{AB}$:

$S_{CD} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$

4. Найдём общую площадь поверхности.

Суммарная площадь поверхности тела вращения $S$ равна:

$S = S_{BC} + S_{AD} + S_{AB} + S_{CD} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{2\pi a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$

$S = \pi a^2\sqrt{3} + \pi a^2\sqrt{3} = 2\pi a^2\sqrt{3}$

Ответ: $2\pi a^2\sqrt{3}$