Номер 9.29, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.29. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

Пусть вершина конуса находится в начале координат $O$, а $L$ — длина его образующей. По условию, на поверхности конуса существуют три попарно перпендикулярные образующие. Обозначим их векторами $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Так как эти векторы попарно перпендикулярны, мы можем направить оси декартовой системы координат вдоль них. В этой системе координат точки $A$, $B$ и $C$ будут иметь координаты $A(L, 0, 0)$, $B(0, L, 0)$ и $C(0, 0, L)$.

Обозначим искомый угол при вершине осевого сечения конуса как $\theta$. Ось конуса является биссектрисой этого угла. Угол между осью конуса и любой его образующей постоянен и равен $\alpha = \frac{\theta}{2}$.

Пусть $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ — единичный вектор, направленный вдоль оси конуса. По определению, угол между вектором образующей и вектором оси конуса равен $\alpha$. Скалярное произведение вектора образующей на единичный вектор оси равно косинусу угла между ними, умноженному на длину образующей:

$\vec{OA} \cdot \vec{u} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{u}| \cdot \cos\alpha = L \cdot 1 \cdot \cos\alpha = L\cos\alpha$

С другой стороны, в выбранной системе координат:

$\vec{OA} \cdot \vec{u} = (L, 0, 0) \cdot (u_x, u_y, u_z) = L u_x$

Приравнивая два выражения, получаем $L u_x = L \cos\alpha$, откуда $u_x = \cos\alpha$.

Аналогично для двух других образующих:

$u_y = \cos\alpha$

$u_z = \cos\alpha$

Поскольку $\vec{u}$ — единичный вектор, сумма квадратов его координат равна единице:

$u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = 1$

Подставим найденные выражения для координат:

$\cos^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$3\cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = \frac{1}{3}$

Нам нужно найти угол $\theta = 2\alpha$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$\cos\theta = \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$

Подставляем найденное значение $\cos^2\alpha$:

$\cos\theta = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

Отсюда искомый угол равен:

$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.