Номер 9.22, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.22. Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Какова величина угла при вершине осевого сечения конуса?

Пусть $l$ — длина образующей конуса, а $r$ — радиус его основания. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию задачи, разверткой является полукруг. Радиус этого полукруга равен образующей конуса $l$. Длина дуги такого полукруга вычисляется как половина длины окружности с радиусом $l$:
$L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi l = \pi l$

Длина окружности основания конуса равна $C = 2\pi r$.

Так как дуга развертки образует окружность основания конуса при сворачивании, их длины должны быть равны:
$L_{дуги} = C$
$\pi l = 2\pi r$

Из этого равенства мы находим соотношение между образующей и радиусом основания:
$l = 2r$

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $d = 2r$. Искомый угол $\alpha$ — это угол при вершине этого треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике угол при вершине конуса равен $\frac{\alpha}{2}$. Синус этого угла определяется как отношение противолежащего катета ($r$) к гипотенузе ($l$):
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $l=2r$:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно:
$\frac{\alpha}{2} = 30^\circ$

Отсюда находим величину полного угла при вершине осевого сечения:
$\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$