Номер 9.19, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.19. Ромб со стороной $10 \text{ см}$ и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, содержащей одну из сторон ромба. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан ромб ABCD со стороной $a = 10$ см и острым углом при вершине A, равным $60^\circ$. Вращение производится вокруг прямой, содержащей сторону AD.

Площадь поверхности полученного тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением трех других сторон ромба: AB, BC и CD. Сторона AD находится на оси вращения, поэтому она не образует поверхности.

Тело вращения состоит из центральной цилиндрической части и двух конических частей по бокам.

Для вычисления площадей нам понадобится высота ромба $h$, опущенная из вершины B на сторону AD. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной AB, высотой $h$ и частью стороны AD, высота $h$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$.

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Эта высота будет радиусом для всех частей тела вращения.

1. Вращение стороны AB образует боковую поверхность конуса. Образующая этого конуса $l$ равна стороне ромба $a = 10$ см, а радиус его основания $r$ равен высоте ромба $h = 5\sqrt{3}$ см. Площадь этой поверхности $S_1$ равна:

$S_1 = \pi r l = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 50\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Так как в ромбе противоположные стороны параллельны, то сторона BC параллельна стороне AD (оси вращения). При вращении отрезка BC образуется боковая поверхность цилиндра. Высота этого цилиндра $H$ равна длине стороны ромба $a = 10$ см, а его радиус $R$ равен высоте ромба $h = 5\sqrt{3}$ см. Площадь этой поверхности $S_2$ равна:

$S_2 = 2\pi R H = 2\pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 100\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Вращение стороны CD образует боковую поверхность второго конуса. По симметрии ромба, этот конус идентичен первому. Его образующая $l = 10$ см, а радиус основания $r = 5\sqrt{3}$ см. Площадь его поверхности $S_3$ также равна $S_1$:

$S_3 = \pi r l = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 10 = 50\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ является суммой площадей этих трех поверхностей:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 50\pi\sqrt{3} + 100\pi\sqrt{3} + 50\pi\sqrt{3} = 200\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $200\pi\sqrt{3}$ см$^2$.