Номер 9.20, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.20. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна меньшему основанию. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 26$ см, меньшее основание $BC = 10$ см. Боковая сторона равна меньшему основанию, следовательно, $AB = CD = 10$ см.

При вращении трапеции вокруг прямой, содержащей ее большее основание AD, образуется тело вращения. Это тело состоит из цилиндра, образованного вращением центрального прямоугольника трапеции, и двух одинаковых конусов, образованных вращением прямоугольных треугольников по краям трапеции. Площадь поверхности этого тела складывается из площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов.

Для вычисления площадей необходимо найти высоту трапеции. Проведем высоты BE и CF из вершин B и C на основание AD. В равнобокой трапеции отрезки у основания, отсекаемые высотами, равны: $AE = FD$. Длина отрезка EF равна длине меньшего основания: $EF = BC = 10$ см. Длину отрезка AE можно найти как полуразность оснований:

$AE = \frac{AD - BC}{2} = \frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = BE$:

$h = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Эта высота является радиусом оснований как для цилиндра, так и для конусов: $r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi r h_{цил}$. Высота цилиндра $h_{цил}$ равна длине меньшего основания трапеции $BC = 10$ см. Расчет площади:

$S_{цил} = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{кон} = \pi r l$. Образующая конуса $l$ равна боковой стороне трапеции $AB = 10$ см. Расчет площади:

$S_{кон} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 120\pi + 2 \cdot 60\pi = 120\pi + 120\pi = 240\pi$ см$^2$.

Ответ: $240\pi$ см$^2$.