Номер 9.16, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.16. Равнобедренный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

При вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его основание, образуется тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Проведем высоту $h$ к основанию. Эта высота является радиусом основания конусов ($r = h$), а боковая сторона треугольника $b$ является образующей конусов ($l = b$). Высота также делит основание $a$ и угол $\alpha$ пополам.

Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, образованных высотой. В этом треугольнике:

• Один катет равен половине основания: $a/2$.

• Другой катет – это высота треугольника $h$ (и радиус $r$ конуса).

• Гипотенуза – это боковая сторона $b$ (и образующая $l$ конуса).

• Угол, противолежащий катету $a/2$, равен $\alpha/2$.

Найдем радиус $r$ и образующую $l$ через известные $a$ и $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:
$ \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{h} \implies h = \frac{a/2}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) $
Таким образом, радиус основания конуса: $r = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Также:
$ \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{b} \implies b = \frac{a/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} $
Таким образом, образующая конуса: $l = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.
Площадь поверхности всего тела вращения $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:
$ S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi r l $

Подставим найденные выражения для $r$ и $l$:
$ S = 2 \pi \left( \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) \right) \left( \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \right) $

Упростим выражение. Вспомним, что $ \cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $:
$ S = 2 \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} $
$ S = \pi a \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} $
$ S = \frac{\pi a^2 \cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $ \frac{\pi a^2 \cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} $