Номер 9.12, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.12. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\beta$ ($0^{\circ} < \beta < 180^{\circ}$). Найдите площадь образовавшегося сечения, если высота конуса равна $H$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\alpha$.

Пусть дан конус с вершиной $S$, центром основания $O$, радиусом основания $R$ и высотой $SO = H$. Секущая плоскость проходит через две образующие $SA$ и $SB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания. Образовавшееся сечение — это равнобедренный треугольник $SAB$, так как образующие $SA$ и $SB$ равны.

Площадь этого треугольника можно найти по формуле $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$, где $AB$ — основание (хорда в основании конуса), а $SM$ — высота сечения, проведенная к этому основанию ($M$ — середина $AB$).

Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре $AB$. Так как $OM \perp AB$ (в равнобедренном треугольнике $AOB$, где $R=OA=OB$ — радиус основания) и $SM \perp AB$ (в равнобедренном треугольнике $SAB$), то линейным углом этого двугранного угла является $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания). Из этого треугольника находим высоту сечения $SM$ и расстояние $OM$ от центра основания до хорды $AB$:
$SM = \frac{SO}{\sin\alpha} = \frac{H}{\sin\alpha}$
$OM = \frac{SO}{\tan\alpha} = H \cot\alpha$

Теперь рассмотрим основание конуса. Хорда $AB$ стягивает дугу с градусной мерой $\beta$, поэтому центральный угол $\angle AOB = \beta$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$ также является биссектрисой, поэтому $\angle AOM = \frac{\beta}{2}$. Из прямоугольного треугольника $OAM$ выразим $OM$ и половину хорды $AM$:
$OM = R \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$
$AM = R \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$, следовательно, $AB = 2R \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Приравнивая два полученных выражения для $OM$, найдем радиус основания $R$:
$H \cot\alpha = R \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \implies R = \frac{H \cot\alpha}{\cos(\frac{\beta}{2})}$.
Подставим это значение $R$ в формулу для длины хорды $AB$:
$AB = 2 \cdot \frac{H \cot\alpha}{\cos(\frac{\beta}{2})} \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = 2H \cot\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Наконец, вычислим площадь сечения, подставив найденные значения $AB$ и $SM$:
$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \left( 2H \cot\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \right) \cdot \left( \frac{H}{\sin\alpha} \right)$
$S_{SAB} = H^2 \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{H^2 \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})}{\sin^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{H^2 \cos\alpha \tan(\frac{\beta}{2})}{\sin^2\alpha}$.