Номер 9.7, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.7. Радиус основания конуса равен 15 см, а расстояние от центра основания до образующей конуса — 12 см. Найдите образующую и высоту конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $L$ — образующая. Согласно условию задачи, $R = 15$ см. Расстояние от центра основания до образующей — это длина перпендикуляра, проведенного из центра основания к образующей. Обозначим это расстояние как $d = 12$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны образующей $L$, высота равна высоте конуса $H$, а половина основания равна радиусу $R$. Таким образом, $H$, $R$ и $L$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ — катетами. Следовательно, для них выполняется теорема Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.

Перпендикуляр $d$, опущенный из центра основания (вершины прямого угла в треугольнике сечения) на гипотенузу $L$, делит этот треугольник на два меньших. Рассмотрим тот из них, у которого одним из катетов является $d$, а гипотенузой — катет $R$ исходного треугольника.

Образующая конуса
В малом прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R=15$ см и катетом $d=12$ см найдем второй катет $x$. Этот катет является проекцией катета $R$ на гипотенузу $L$ в большом треугольнике. По теореме Пифагора:
$x = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $R$ в большом треугольнике это соотношение выглядит так:
$R^2 = L \cdot x$
Отсюда найдем образующую $L$:
$L = \frac{R^2}{x} = \frac{15^2}{9} = \frac{225}{9} = 25$ см.
Ответ: Образующая конуса равна 25 см.

Высота конуса
Теперь, зная образующую $L = 25$ см и радиус $R = 15$ см, найдем высоту конуса $H$, используя теорему Пифагора для основного прямоугольного треугольника осевого сечения:
$L^2 = H^2 + R^2$
Отсюда выражаем $H^2$:
$H^2 = L^2 - R^2$
$H^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$
$H = \sqrt{400} = 20$ см.
Ответ: Высота конуса равна 20 см.