Страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.1. Радиус основания конуса равен 9 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите площадь:

1) боковой поверхности конуса;

2) осевого сечения конуса.

Позначимо радіус основи конуса як $r$, твірну як $l$, а висоту як $h$.

За умовою задачі маємо: $r = 9$ см, а кут між твірною і площиною основи $\alpha = 30°$.

Цей кут утворюється твірною $l$ та радіусом основи $r$ у прямокутному трикутнику, сторонами якого є висота $h$ (катет), радіус $r$ (катет) і твірна $l$ (гіпотенуза).

1) боковой поверхности конуса

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою $S_{бок} = \pi r l$. Нам необхідно знайти довжину твірної $l$.

З прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом та твірною, маємо співвідношення:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Звідси виразимо твірну $l$:

$l = \frac{r}{\cos(\alpha)}$

Підставляємо відомі значення ($r = 9$ см, $\alpha = 30°$):

$l = \frac{9}{\cos(30°)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Тепер обчислимо площу бічної поверхні:

$S_{бок} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см².

2) осевого сечения конуса

Осьовий переріз конуса є рівнобедреним трикутником, основою якого є діаметр основи конуса $d = 2r$, а висотою — висота конуса $h$.

Площа цього трикутника обчислюється за формулою $S_{сеч} = \frac{1}{2} d h = \frac{1}{2} (2r) h = r h$.

Спочатку знайдемо висоту конуса $h$ з того ж прямокутного трикутника:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$

Звідси виразимо висоту $h$:

$h = r \cdot \tan(\alpha)$

Підставляємо відомі значення:

$h = 9 \cdot \tan(30°) = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Тепер обчислимо площу осьового перерізу:

$S_{сеч} = r \cdot h = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Ответ: $27\sqrt{3}$ см².

9.2. Радиус основания конуса равен 6 см, а высота — 8 см. Найдите площадь:

1) боковой поверхности конуса;

2) полной поверхности конуса.

По условию задачи, радиус основания конуса $r = 6$ см, а его высота $h = 8$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности нам потребуется знать длину образующей конуса $l$. Образующая, высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Подставим известные значения:

$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

1) боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим значения радиуса $r$ и образующей $l$:

$S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ см².

Ответ: $60\pi$ см².

2) полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) — это сумма площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Основание конуса — это круг, площадь которого вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{осн} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности, сложив площади боковой поверхности и основания:

$S_{полн} = 60\pi + 36\pi = 96\pi$ см².

Ответ: $96\pi$ см².

9.3. Высота конуса равна $H$, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь:

1) осевого сечения конуса;

2) боковой поверхности конуса.

Обозначим высоту конуса как $H$, радиус основания как $R$, а образующую как $L$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), радиусом $R$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$) и образующей $L$ (гипотенуза).
Из тригонометрических соотношений в этом треугольнике мы можем выразить $R$ и $L$ через $H$ и $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{R} \implies R = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$
$\sin(\alpha) = \frac{H}{L} \implies L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

1) осевого сечения конуса;

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$).
Площадь осевого сечения ($S_{ос.сеч.}$) вычисляется по формуле:
$S_{ос.сеч.} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$
Подставим ранее найденное выражение для $R$:
$S_{ос.сеч.} = (H \cot(\alpha)) \cdot H = H^2 \cot(\alpha)$
Ответ: $H^2 \cot(\alpha)$.

2) боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок.}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок.} = \pi R L$
Подставим выражения для $R$ и $L$, которые мы нашли ранее:
$R = H \cot(\alpha)$
$L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$
$S_{бок.} = \pi \cdot (H \cot(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{\pi H^2 \cot(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
Поскольку $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, мы можем упростить выражение:
$S_{бок.} = \frac{\pi H^2 \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi H^2 \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$
Ответ: $\frac{\pi H^2 \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.

9.4. Образующая конуса равна $a$, а угол в его осевом сечении при вершине конуса равен $\alpha$. Найдите площадь:

1) осевого сечения конуса;

2) боковой поверхности конуса.

По условию задачи, образующая конуса равна $a$, а угол в его осевом сечении при вершине равен $\alpha$. Обозначим образующую как $L$, радиус основания как $R$ и высоту конуса как $H$. Таким образом, $L=a$.

1) осевого сечения конуса;

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса, то есть $a$. Угол между этими сторонами (угол при вершине треугольника) равен $\alpha$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}bc \sin(\gamma)$.

Применяя эту формулу для нашего осевого сечения ($S_{сеч}$), где обе стороны равны $a$, а угол между ними $\alpha$, получаем:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha)$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha)$.

2) боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.

Из условия нам известно, что $L = a$. Для нахождения площади необходимо определить радиус основания $R$.

Рассмотрим осевое сечение. Высота конуса $H$, проведенная из вершины, делит равнобедренный треугольник сечения на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике:

• гипотенуза равна образующей $a$;
• один катет равен радиусу основания $R$;
• угол при вершине (противолежащий катету $R$) равен $\frac{\alpha}{2}$, так как высота является биссектрисой.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к гипотенузе):

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{a}$.

Отсюда выражаем радиус основания:

$R = a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь подставим найденное значение $R$ и данное значение $L=a$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot (a \sin(\frac{\alpha}{2})) \cdot a = \pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $S_{бок} = \pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})$.

9.5. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а один из углов равен 30°, вращается вокруг большего катета. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

Для решения задачи сначала найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Пусть гипотенуза $c = 8$ см, а один из острых углов равен $30^{\circ}$. Второй острый угол будет равен $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Обозначим его $a$:
$a = \frac{c}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Второй катет, $b$, можно найти с помощью теоремы Пифагора или через тригонометрические функции. Найдем его как катет, прилежащий к углу $30^{\circ}$:
$b = c \cdot \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Сравним длины катетов, чтобы определить больший из них:
$a = 4$ см
$b = 4\sqrt{3}$ см
Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $4\sqrt{3} > 4$. Следовательно, больший катет равен $4\sqrt{3}$ см.

Треугольник вращается вокруг большего катета. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В нашем случае:

• Высота конуса $H$ равна длине большего катета: $H = 4\sqrt{3}$ см.
• Радиус основания конуса $R$ равен длине меньшего катета: $R = 4$ см.
• Образующая конуса $L$ равна гипотенузе треугольника: $L = 8$ см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi R L$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi$ см².

Ответ: $32\pi$ см².

9.6. Найдите площадь осевого сечения конуса, образовавшегося в результате вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой 17 см и катетом 15 см вокруг другого катета.

Конус образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. В этом случае высота конуса $H$ равна длине катета, вокруг которого происходит вращение, а радиус основания конуса $R$ равен длине другого катета. Образующая конуса $L$ равна гипотенузе исходного треугольника.

По условию задачи, гипотенуза треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Вращение происходит вокруг другого (неизвестного) катета. Это означает, что известный катет является радиусом основания конуса, а неизвестный — его высотой.

Таким образом, мы имеем:

Радиус основания конуса $R = 15$ см.

Образующая конуса $L = 17$ см.

Высоту конуса $H$ найдем по теореме Пифагора, так как радиус, высота и образующая конуса также образуют прямоугольный треугольник:

$H^2 + R^2 = L^2$

$H^2 + 15^2 = 17^2$

$H^2 + 225 = 289$

$H^2 = 289 - 225$

$H^2 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $D = 2R$, а высота равна высоте конуса $H$.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле площади треугольника:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$S_{сеч} = 15 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$

Ответ: $120 \text{ см}^2$.

9.7. Радиус основания конуса равен 15 см, а расстояние от центра основания до образующей конуса — 12 см. Найдите образующую и высоту конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $L$ — образующая. Согласно условию задачи, $R = 15$ см. Расстояние от центра основания до образующей — это длина перпендикуляра, проведенного из центра основания к образующей. Обозначим это расстояние как $d = 12$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны образующей $L$, высота равна высоте конуса $H$, а половина основания равна радиусу $R$. Таким образом, $H$, $R$ и $L$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ — катетами. Следовательно, для них выполняется теорема Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.

Перпендикуляр $d$, опущенный из центра основания (вершины прямого угла в треугольнике сечения) на гипотенузу $L$, делит этот треугольник на два меньших. Рассмотрим тот из них, у которого одним из катетов является $d$, а гипотенузой — катет $R$ исходного треугольника.

Образующая конуса
В малом прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R=15$ см и катетом $d=12$ см найдем второй катет $x$. Этот катет является проекцией катета $R$ на гипотенузу $L$ в большом треугольнике. По теореме Пифагора:
$x = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $R$ в большом треугольнике это соотношение выглядит так:
$R^2 = L \cdot x$
Отсюда найдем образующую $L$:
$L = \frac{R^2}{x} = \frac{15^2}{9} = \frac{225}{9} = 25$ см.
Ответ: Образующая конуса равна 25 см.

Высота конуса
Теперь, зная образующую $L = 25$ см и радиус $R = 15$ см, найдем высоту конуса $H$, используя теорему Пифагора для основного прямоугольного треугольника осевого сечения:
$L^2 = H^2 + R^2$
Отсюда выражаем $H^2$:
$H^2 = L^2 - R^2$
$H^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$
$H = \sqrt{400} = 20$ см.
Ответ: Высота конуса равна 20 см.

9.8. Высота конуса равна $4\sqrt{5}$ см, а расстояние от центра основания до середины образующей конуса — 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула имеет вид: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Для решения задачи нам нужно найти значения $R$ и $L$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а $L$ — гипотенузой.

По условию, высота конуса $H = 4\sqrt{5}$ см. Расстояние от центра основания до середины образующей равно 6 см. В рассматриваемом нами прямоугольном треугольнике это расстояние представляет собой медиану, проведенную из вершины прямого угла (центра основания) к гипотенузе (образующей).

Согласно свойству медианы прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Обозначим эту медиану как $m$. Тогда: $m = \frac{1}{2} L$ Поскольку $m = 6$ см, мы можем найти длину образующей $L$: $6 = \frac{1}{2} L$ $L = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь, зная высоту $H$ и образующую $L$, мы можем найти радиус основания $R$, используя теорему Пифагора ($L^2 = H^2 + R^2$): $R^2 = L^2 - H^2$ $R^2 = 12^2 - (4\sqrt{5})^2 = 144 - (16 \cdot 5) = 144 - 80 = 64$ $R = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь у нас есть все данные для вычисления площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R (R + L) = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 12) = \pi \cdot 8 \cdot 20 = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².

9.9. Точка $M$ — вершина конуса, точка $O$ — центр его основания, точка $A$ принадлежит основанию конуса, точка $B$ принадлежит отрезку $MO$ (рис. 9.10). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью конуса.

Рис. 9.10

Для построения точки пересечения прямой AB с боковой поверхностью конуса воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую AB и вершину конуса M. Эта плоскость однозначно задается тремя точками: A, B и M.

Поскольку точка B, согласно условию, принадлежит отрезку MO (оси конуса), то точки M, B, O лежат на одной прямой. Это означает, что плоскость (ABM) совпадает с плоскостью (AOM). Плоскость (AOM) проходит через ось конуса MO, а значит, является плоскостью осевого сечения конуса.

Выполним построение:

1. Построим осевое сечение конуса, проходящее через точку A. Для этого проведем прямую через точку A и центр основания O до ее пересечения с окружностью основания в диаметрально противоположной точке. Обозначим эту точку A'.
2. Полученный треугольник $\triangle MAA'$ является осевым сечением конуса. Его стороны MA и MA' — это образующие конуса, лежащие в этой плоскости.
3. Прямая AB также лежит в плоскости этого сечения, так как точки A, B и M лежат в этой плоскости.
4. Для нахождения точки пересечения прямой AB с боковой поверхностью конуса достаточно найти точку пересечения прямой AB с одной из образующих, лежащих в этой же плоскости (MA или MA').
5. Проведем прямую через точки A и B. Точка пересечения этой прямой с образующей MA и будет искомой точкой. Обозначим эту точку K.

Точка K принадлежит прямой AB (по построению) и одновременно принадлежит образующей MA, которая является частью боковой поверхности конуса. Таким образом, точка K является искомой точкой пересечения.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой AB и образующей MA, которая лежит в плоскости осевого сечения конуса, проходящего через точку A.

9.10. В основании конуса проведена хорда длиной $a$, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите высоту конуса.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания. Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике этот угол является острым углом между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом). Следовательно, мы можем записать соотношение:

$\tan \beta = \frac{H}{R}$

Отсюда высота конуса выражается как:

$H = R \tan \beta$

Теперь найдем радиус основания $R$. В основании конуса лежит круг. В этом круге проведена хорда длиной $a$, которая стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$. Соответствующий этой дуге центральный угол также равен $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам. Боковые стороны этого треугольника равны $R$, основание равно $a$, а угол при вершине (в центре круга) равен $\alpha$.

Проведем в этом треугольнике высоту из центра круга к хорде. Эта высота является также биссектрисой и медианой. Она делит хорду пополам (на два отрезка длиной $a/2$) и центральный угол пополам (на два угла величиной $\alpha/2$). В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенузой является радиус $R$, а катетом, противолежащим углу $\alpha/2$, является половина хорды $a/2$.

Из определения синуса в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{R}$

Выразим отсюда радиус $R$:

$R = \frac{a/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}$

Наконец, подставим найденное выражение для $R$ в формулу для высоты $H$:

$H = R \tan \beta = \left( \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)} \right) \cdot \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin(\alpha/2)}$

Ответ: $\frac{a \tan \beta}{2 \sin(\alpha/2)}$