Страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.22. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Пусть $a$ – сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ – ее высота. Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания.

В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$, его периметр равен $P_{осн} = 6a$. По условию задачи, площадь боковой поверхности призмы равна $S$. Таким образом, мы имеем соотношение:$S = 6ah$.

Цилиндр вписан в данную призму. Это означает, что высота цилиндра $h_{цил}$ равна высоте призмы $h$, а окружность основания цилиндра вписана в правильный шестиугольник, являющийся основанием призмы.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника. Апофема, в свою очередь, равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса вписанной окружности:$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле:$S_{цил} = 2\pi r h$.

Подставим в эту формулу выражение для радиуса $r$:$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) h = \pi a h \sqrt{3}$.

Из первого соотношения $S = 6ah$ выразим произведение $ah$:$ah = \frac{S}{6}$.

Теперь подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:$S_{цил} = \pi \sqrt{3} \cdot (ah) = \pi \sqrt{3} \cdot \frac{S}{6} = \frac{\pi S \sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi S \sqrt{3}}{6}$.

8.23. В правильную призму $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ вписан цилиндр, касающийся боковых граней $A A_1 B_1 B$ и $B B_1 C_1 C$ по образующим $MM_1$ и $KK_1$, соответственно. Диагональ осевого сечения этого цилиндра равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь четырёхугольника $MM_1 K_1 K$.

Четырехугольник $MM_1K_1K$ является сечением цилиндра плоскостью, проходящей через две его параллельные образующие $MM_1$ и $KK_1$. Так как образующие цилиндра перпендикулярны его основанию, то $MM_1$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе и отрезку $MK$. Следовательно, четырехугольник $MM_1K_1K$ — это прямоугольник. Его площадь $S$ находится как произведение длин его смежных сторон: $S = MM_1 \cdot MK$.

Найдем длину стороны $MM_1$. $MM_1$ — это образующая цилиндра, ее длина равна высоте цилиндра $H$. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $H$ (высота) и $D$ (диаметр основания). Диагональ этого сечения по условию равна $d$ и образует с плоскостью основания (то есть со стороной $D$) угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю $d$, высотой $H$ и диаметром $D$, находим: $H = d \sin \alpha$. Таким образом, $MM_1 = d \sin \alpha$.

Найдем длину стороны $MK$. Точки $M$ и $K$ — это точки касания основания цилиндра со сторонами $AB$ и $BC$ правильного шестиугольника, который является основанием призмы. Пусть $O$ — центр основания цилиндра (и шестиугольника), а $R$ — его радиус. Тогда $OM=OK=R$, и $OM \perp AB$, $OK \perp BC$. Рассмотрим четырехугольник $OMBK$ в плоскости основания. Сумма его углов равна $360^\circ$. Нам известны углы: $\angle OMB = 90^\circ$, $\angle OKB = 90^\circ$. Угол $\angle ABC$ — это внутренний угол правильного шестиугольника, который равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Тогда центральный угол $\angle MOK = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Треугольник $\triangle MOK$ — равнобедренный ($OM=OK=R$) с углом $60^\circ$ при вершине $O$, следовательно, он равносторонний. Значит, $MK = R$. Радиус $R$ найдем из того же прямоугольного треугольника, что и высоту. Диаметр $D = 2R$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$: $D = d \cos \alpha$. Отсюда $R = \frac{D}{2} = \frac{d \cos \alpha}{2}$. Следовательно, $MK = \frac{d \cos \alpha}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь прямоугольника $MM_1K_1K$: $S = MM_1 \cdot MK = (d \sin \alpha) \cdot \left(\frac{d \cos \alpha}{2}\right) = \frac{d^2}{2} \sin \alpha \cos \alpha$. Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем: $S = \frac{d^2}{4} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{d^2}{4} \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\frac{d^2}{4} \sin(2\alpha)$.

8.24. В правильную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписан цилиндр, касающийся боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ по образующим $EE_1$ и $FF_1$ соответственно. Четырёхугольник $EE_1F_1F$ является квадратом. Найдите площадь этого квадрата, если радиус основания цилиндра равен $R$.

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является правильной, в её основании лежит правильный четырёхугольник, то есть квадрат $ABCD$, а боковые грани перпендикулярны основанию.

Рассмотрим проекцию цилиндра и призмы на плоскость нижнего основания $ABCD$. Проекцией цилиндра является его нижнее основание — круг с центром $O$ и радиусом $R$. Проекциями боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ являются стороны квадрата $AB$ и $BC$. Образующие $EE_1$ и $FF_1$, по которым цилиндр касается граней, проецируются в точки $E$ и $F$.

Условие касания цилиндра грани $AA_1B_1B$ по образующей $EE_1$ означает, что в проекции на основание круг касается прямой $AB$ в точке $E$. Аналогично, круг касается прямой $BC$ в точке $F$.

Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp BC$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Таким образом, $OE \perp AB$ и $OF \perp BC$. Длины этих радиусов равны $R$: $OE = R$ и $OF = R$.

Рассмотрим четырёхугольник $OEBF$. В нём три прямых угла: $\angle OEB = 90^\circ$, $\angle OFB = 90^\circ$ и $\angle EBF = 90^\circ$. Следовательно, $OEBF$ — прямоугольник. Поскольку две его смежные стороны $OE$ и $OF$ равны $R$, этот прямоугольник является квадратом со стороной $R$.

Найдём длину отрезка $EF$. Точки $E$ и $F$ лежат на окружности основания цилиндра. Треугольник $OEF$ — прямоугольный, так как угол $\angle EOF$ является четвёртым углом в квадрате $OEBF$ и равен $90^\circ$. По теореме Пифагора для треугольника $OEF$: $EF^2 = OE^2 + OF^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда, $EF = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим четырёхугольник $EE_1F_1F$. Он образован двумя образующими цилиндра $EE_1$ и $FF_1$ и отрезками $EF$ и $E_1F_1$. Образующие цилиндра параллельны и равны его высоте. Также они перпендикулярны основаниям. Следовательно, $EE_1 \perp EF$, и четырёхугольник $EE_1F_1F$ является прямоугольником со сторонами $EF$ и $EE_1$.

По условию задачи, четырёхугольник $EE_1F_1F$ является квадратом. Это значит, что его смежные стороны равны: $EE_1 = EF$. Таким образом, сторона этого квадрата равна $EF = R\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $EE_1F_1F$ равна квадрату его стороны: $S_{EE_1F_1F} = EF^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

Ответ: $2R^2$.

8.25. Ребро $AD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Диагональ $B_1D$ образует с гранями $ABCD$ и $AA_1D_1D$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда (грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ принадлежат основаниям цилиндра).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi Rh$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию, цилиндр описан около параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, причем грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ принадлежат основаниям цилиндра. Это означает, что параллелепипед является прямым, а его основание $ABCD$ — прямоугольником, так как только прямоугольник из всех параллелограммов можно вписать в окружность. Высота цилиндра $h$ равна высоте параллелепипеда $H = AA_1$. Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали прямоугольника $ABCD$, то есть $R = \frac{BD}{2}$.

Таким образом, формула площади боковой поверхности цилиндра преобразуется к виду: $S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{BD}{2} \cdot H = \pi \cdot BD \cdot H$. Для решения задачи нам необходимо выразить диагональ основания $BD$ и высоту параллелепипеда $H$ через известные величины.

Пусть измерения параллелепипеда: $AD=a$ (по условию), $AB=x$ и $AA_1=H$.

Угол $\alpha$ между диагональю $B_1D$ и гранью $ABCD$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость $ABCD$. Проекцией $B_1D$ является диагональ основания $BD$. Следовательно, $\angle B_1DB = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $\triangle B_1DB$ (где $\angle B_1BD = 90^\circ$, так как $BB_1$ перпендикулярно основанию) имеем: $H = BB_1 = B_1D \cdot \sin\alpha$ $BD = B_1D \cdot \cos\alpha$

Угол $\beta$ между диагональю $B_1D$ и гранью $AA_1D_1D$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость $AA_1D_1D$. Проекцией $B_1D$ на эту плоскость является диагональ боковой грани $A_1D$ (поскольку $A_1B_1 \perp$ плоскости $AA_1D_1D$). Следовательно, $\angle B_1DA_1 = \beta$. Из прямоугольного треугольника $\triangle B_1A_1D$ (где $\angle B_1A_1D = 90^\circ$) имеем: $A_1B_1 = B_1D \cdot \sin\beta$. Так как $A_1B_1 = AB = x$, то $x = B_1D \cdot \sin\beta$.

Рассмотрим прямоугольное основание $ABCD$. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = x^2 + a^2$.

Подставим в это равенство выражения для $BD$ и $x$, выраженные через $B_1D$: $(B_1D \cdot \cos\alpha)^2 = (B_1D \cdot \sin\beta)^2 + a^2$ $B_1D^2 \cos^2\alpha = B_1D^2 \sin^2\beta + a^2$ $B_1D^2 (\cos^2\alpha - \sin^2\beta) = a^2$ $B_1D^2 = \frac{a^2}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

Теперь, зная $B_1D^2$, мы можем найти $BD$ и $H$: $BD = B_1D \cos\alpha = \sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \cdot \cos\alpha = \frac{a \cos\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}$ $H = B_1D \sin\alpha = \sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \cdot \sin\alpha = \frac{a \sin\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}$

Наконец, вычисляем искомую площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = \pi \cdot BD \cdot H = \pi \cdot \left( \frac{a \cos\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \right) \cdot \left( \frac{a \sin\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \right) = \frac{\pi a^2 \sin\alpha \cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \sin\alpha \cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

8.26. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, острый угол $A$ которого равен $\alpha$, а диагональ $BD$ равна $d$. Плоскость $BC_1D$ образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi r H$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. В случае цилиндра, вписанного в прямую призму, его высота $H$ равна высоте призмы, а радиус $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы (в данном случае — в ромб $ABCD$).

1. Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности.

Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба $h$. Таким образом, $r = h/2$.
Площадь ромба можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h$: $S = ah$. Также площадь ромба равна $S = a^2 \sin \alpha$. Приравнивая эти два выражения, получаем, что высота ромба $h = a \sin \alpha$.
Найдем сторону ромба $a$. Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
$d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \alpha = 2a^2(1 - \cos \alpha)$
Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos \alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:
$d^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4a^2\sin^2(\alpha/2)$
Отсюда $d = 2a\sin(\alpha/2)$, и сторона ромба $a = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)}$.
Теперь найдем высоту ромба $h$:
$h = a \sin \alpha = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot \sin \alpha$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:
$h = \frac{d}{2\sin(\alpha/2)} \cdot 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = d \cos(\alpha/2)$.
Следовательно, радиус вписанной окружности равен:
$r = \frac{h}{2} = \frac{d}{2}\cos(\alpha/2)$.

2. Найдем высоту призмы $H$.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы, $H = CC_1$.
Плоскость $BC_1D$ образует с плоскостью основания $ABCD$ двугранный угол $\beta$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$.
Для нахождения линейного угла этого двугранного угла опустим перпендикуляры на ребро $BD$ в каждой из плоскостей из одной точки. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. В ромбе диагонали перпендикулярны, следовательно, $CO \perp BD$.
Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, $CC_1 \perp BD$.
Так как прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CO$ и $CC_1$ в плоскости $ACC_1$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, $BD \perp C_1O$.
Таким образом, $\angle C_1OC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $BC_1D$ и $ABCD$, то есть $\angle C_1OC = \beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1CO$ (угол $\angle C$ прямой). В нем $H = CC_1$. Из определения тангенса: $\tan(\angle C_1OC) = \frac{CC_1}{CO}$, откуда $H = CO \cdot \tan \beta$.
Найдем длину $CO$. В ромбе $CO = AO$. В прямоугольном треугольнике $AOB$: $BO = BD/2 = d/2$, а $\angle BAO = \angle A / 2 = \alpha/2$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO}$, откуда
$AO = \frac{BO}{\tan(\alpha/2)} = \frac{d/2}{\tan(\alpha/2)} = \frac{d}{2}\cot(\alpha/2)$.
Значит, $CO = \frac{d}{2}\cot(\alpha/2)$.
Теперь можем найти высоту призмы:
$H = CO \cdot \tan \beta = \frac{d}{2}\cot(\alpha/2)\tan \beta$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.

Подставим найденные значения $r$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2\pi r H = 2\pi \cdot \left(\frac{d}{2}\cos(\alpha/2)\right) \cdot \left(\frac{d}{2}\cot(\alpha/2)\tan \beta\right)$
$S_{бок} = 2\pi \frac{d^2}{4} \cos(\alpha/2) \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} \tan \beta$
$S_{бок} = \frac{\pi d^2 \cos^2(\alpha/2) \tan \beta}{2\sin(\alpha/2)}$.

Ответ: $\frac{\pi d^2 \cos^2(\alpha/2) \tan \beta}{2\sin(\alpha/2)}$

8.27. В цилиндр, радиус основания которого равен 5 см, вписана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является трапеция $ABCD$, в которой $BC = 6$ см, $AD = 8$ см. Расстояние между прямыми $BC$ и $A_1D_1$ равно 25 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра используется формула $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. По условию $R = 5$ см. Следовательно, задача сводится к нахождению высоты цилиндра $H$.

1. Нахождение высоты трапеции в основании

Так как призма вписана в цилиндр, ее основание (трапеция $ABCD$) вписано в окружность, которая является основанием цилиндра. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Радиус этой окружности равен $R = 5$ см.

Пусть $O$ — центр окружности. Расстояние от центра окружности до хорды можно найти по теореме Пифагора. Пусть $h_1$ — расстояние от центра $O$ до основания $AD$, а $h_2$ — расстояние от центра $O$ до основания $BC$.

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды $AD$ и перпендикуляром $h_1$, имеем:

$h_1 = \sqrt{R^2 - (AD/2)^2} = \sqrt{5^2 - (8/2)^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Аналогично для хорды $BC$:

$h_2 = \sqrt{R^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Поскольку $AD$ и $BC$ — основания трапеции, они параллельны. Центр описанной окружности лежит на оси симметрии трапеции, перпендикулярной основаниям. Высота трапеции $h_{тр}$ равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$. Так как центр $O$ находится между основаниями (поскольку $h_1 < R$ и $h_2 < R$), высота трапеции равна сумме расстояний от центра до каждого основания:

$h_{тр} = h_1 + h_2 = 3 + 4 = 7$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра

Расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $A_1D_1$ (обозначим его $d=25$ см) связано с высотой призмы $H$ (которая равна высоте цилиндра) и расстоянием между их проекциями на плоскость, перпендикулярную высоте. Проекцией прямой $A_1D_1$ на плоскость основания $ABCD$ является прямая $AD$. Расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$ — это высота трапеции $h_{тр} = 7$ см.

Связь между этими величинами выражается через теорему Пифагора в пространстве:

$d^2 = H^2 + h_{тр}^2$

Подставляем известные значения:

$25^2 = H^2 + 7^2$

$625 = H^2 + 49$

$H^2 = 625 - 49 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $R = 5$ см и высоту $H = 24$ см, находим площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 5 \cdot 24 = 240 \pi$ см².

Ответ: $240 \pi$ см².

8.28. В цилиндр, радиус основания которого равен 13 см, вписана призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, основание $AB$ которого равно 24 см. Расстояние от точки $C_1$ до середины отрезка $AB$ равно 30 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 13$ см. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо определить высоту цилиндра $H$.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ вписана в цилиндр, ее высота равна высоте цилиндра, то есть $H = CC_1$. Основания призмы (треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$) вписаны в основания цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра – окружность, в которую вписан равнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина основания $AB$ этого треугольника. Тогда $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Пусть $O$ – центр окружности (основания цилиндра). Отрезок $OM$ является расстоянием от центра окружности до хорды $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$ (угол $OMA$ прямой, так как радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей). Гипотенуза $OA$ – это радиус окружности, $OA = R = 13$ см. Катет $AM = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину катета $OM$:

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$OM = \sqrt{25} = 5$ см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота (а также медиана) $CM$ проходит через центр описанной окружности $O$. Следовательно, точки $C, O, M$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $CM$ равна сумме длин отрезков $CO$ (который является радиусом) и $OM$.

$CM = CO + OM = R + OM = 13 + 5 = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1M$. Его катеты – это высота цилиндра $H = CC_1$ и отрезок $CM$ в плоскости основания. Гипотенуза – это отрезок $C_1M$, соединяющий точку $C_1$ верхнего основания с серединой отрезка $AB$ нижнего основания. По условию, $C_1M = 30$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $CC_1M$:

$C_1M^2 = CC_1^2 + CM^2$

Отсюда найдем высоту цилиндра $H = CC_1$:

$H^2 = C_1M^2 - CM^2 = 30^2 - 18^2 = 900 - 324 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь, зная радиус $R = 13$ см и высоту $H = 24$ см, можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок.} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 13 \cdot 24 = 624 \pi$ см$^2$.

Ответ: $624 \pi$ см$^2$.

8.29. Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Вершины $A$ и $A_1$ лежат на боковой поверхности цилиндра. Плоскость $BCC_1$ касается боковой поверхности цилиндра. Ось цилиндра параллельна прямой $B_1C$. Найдите радиус основания цилиндра.

Введем систему координат. Пусть начало координат находится в вершине B. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BC$, ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$. Тогда ось $Oy$ будет перпендикулярна грани $BCC_1B_1$.

Поскольку призма правильная и все ее ребра равны $a$, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Высота этого треугольника равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты вершин призмы будут следующими:

$B(0, 0, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $A(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$

$B_1(0, 0, a)$, $C_1(a, 0, a)$, $A_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$

Пусть $L$ — ось цилиндра, а $R$ — его радиус. По условию, ось цилиндра параллельна прямой $B_1C$. Найдем вектор-направляющий для прямой $B_1C$:

$\vec{v} = \vec{C} - \vec{B_1} = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$.

В качестве вектор-направляющего для оси $L$ можно взять коллинеарный вектор $\vec{u} = (1, 0, -1)$.

Пусть ось $L$ проходит через точку $P_0(x_0, y_0, z_0)$. Тогда параметрическое уравнение оси $L$ имеет вид: $(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t(1, 0, -1)$.

Теперь используем условия задачи для нахождения параметров оси и радиуса.

1. Вершины A и A₁ лежат на боковой поверхности цилиндра.

Это означает, что расстояние от точек $A$ и $A_1$ до оси $L$ равно радиусу $R$. Расстояние от точки $Q$ до прямой, проходящей через $P_0$ с направляющим вектором $\vec{u}$, вычисляется по формуле:

$d(Q, L) = \frac{|\vec{P_0Q} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

У нас $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Для точки $A(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$: $\vec{P_0A} = (a/2 - x_0, a\sqrt{3}/2 - y_0, -z_0)$.

$\vec{P_0A} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a/2 - x_0 & a\sqrt{3}/2 - y_0 & -z_0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-(a\sqrt{3}/2 - y_0), a/2 - x_0 - z_0, -(a\sqrt{3}/2 - y_0))$

$R^2 = d(A, L)^2 = \frac{1}{2} ( (y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - x_0 - z_0)^2 + (y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 ) = \frac{1}{2} ( 2(y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - x_0 - z_0)^2 )$. (1)

Для точки $A_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$: $\vec{P_0A_1} = (a/2 - x_0, a\sqrt{3}/2 - y_0, a - z_0)$.

$\vec{P_0A_1} \times \vec{u} = (-(a\sqrt{3}/2 - y_0), (a - z_0) - (-(a/2 - x_0)), -(a\sqrt{3}/2 - y_0)) = (y_0 - a\sqrt{3}/2, 3a/2 - x_0 - z_0, y_0 - a\sqrt{3}/2)$

$R^2 = d(A_1, L)^2 = \frac{1}{2} ( 2(y_0 - a\sqrt{3}/2)^2 + (3a/2 - x_0 - z_0)^2 )$. (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:

$(a/2 - x_0 - z_0)^2 = (3a/2 - x_0 - z_0)^2$

Пусть $K = x_0 + z_0$. Тогда $(a/2 - K)^2 = (3a/2 - K)^2$. Это равенство выполняется, если $a/2 - K = \pm(3a/2 - K)$.

Вариант $a/2 - K = 3a/2 - K$ приводит к $a/2 = 3a/2$, что невозможно при $a \neq 0$.

Значит, $a/2 - K = -(3a/2 - K) = K - 3a/2$.

$2K = a/2 + 3a/2 = 2a \implies K = a$.

Таким образом, мы получили первое соотношение для координат точки на оси: $x_0 + z_0 = a$.

2. Плоскость BCC₁ касается боковой поверхности цилиндра.

Это означает, что расстояние от оси $L$ до плоскости $(BCC_1)$ равно радиусу $R$.

Плоскость $(BCC_1)$ в нашей системе координат определяется уравнением $y=0$.

Расстояние от оси $L$ до плоскости $(BCC_1)$ равно расстоянию от любой точки на оси до этой плоскости, так как ось параллельна плоскости (вектор-направляющий оси $\vec{u}=(1,0,-1)$ ортогонален нормали к плоскости $\vec{n}=(0,1,0)$, их скалярное произведение равно 0).

Возьмем точку $P_0(x_0, y_0, z_0)$ на оси. Расстояние до плоскости $y=0$ равно $|y_0|$.

Так как призма находится в полупространстве $y \ge 0$, а плоскость ее касается, то ось цилиндра также должна находиться в этом полупространстве. Следовательно, $y_0 > 0$.

Таким образом, $R = y_0$.

3. Нахождение радиуса.

Подставим найденные соотношения $x_0 + z_0 = a$ и $y_0 = R$ в уравнение (1):

$2R^2 = 2(R - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - (x_0 + z_0))^2$

$2R^2 = 2(R - a\sqrt{3}/2)^2 + (a/2 - a)^2$

$2R^2 = 2(R^2 - a\sqrt{3}R + \frac{3a^2}{4}) + (-\frac{a}{2})^2$

$2R^2 = 2R^2 - 2a\sqrt{3}R + \frac{3a^2}{2} + \frac{a^2}{4}$

$0 = -2a\sqrt{3}R + \frac{6a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

$2a\sqrt{3}R = \frac{7a^2}{4}$

Так как $a \neq 0$, делим обе части на $a$:

$2\sqrt{3}R = \frac{7a}{4}$

$R = \frac{7a}{8\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}a}{8 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{3}a}{24}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{3}a}{24}$