Номер 8.23, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.23. В правильную призму $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ вписан цилиндр, касающийся боковых граней $A A_1 B_1 B$ и $B B_1 C_1 C$ по образующим $MM_1$ и $KK_1$, соответственно. Диагональ осевого сечения этого цилиндра равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь четырёхугольника $MM_1 K_1 K$.

Четырехугольник $MM_1K_1K$ является сечением цилиндра плоскостью, проходящей через две его параллельные образующие $MM_1$ и $KK_1$. Так как образующие цилиндра перпендикулярны его основанию, то $MM_1$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе и отрезку $MK$. Следовательно, четырехугольник $MM_1K_1K$ — это прямоугольник. Его площадь $S$ находится как произведение длин его смежных сторон: $S = MM_1 \cdot MK$.

Найдем длину стороны $MM_1$. $MM_1$ — это образующая цилиндра, ее длина равна высоте цилиндра $H$. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $H$ (высота) и $D$ (диаметр основания). Диагональ этого сечения по условию равна $d$ и образует с плоскостью основания (то есть со стороной $D$) угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю $d$, высотой $H$ и диаметром $D$, находим: $H = d \sin \alpha$. Таким образом, $MM_1 = d \sin \alpha$.

Найдем длину стороны $MK$. Точки $M$ и $K$ — это точки касания основания цилиндра со сторонами $AB$ и $BC$ правильного шестиугольника, который является основанием призмы. Пусть $O$ — центр основания цилиндра (и шестиугольника), а $R$ — его радиус. Тогда $OM=OK=R$, и $OM \perp AB$, $OK \perp BC$. Рассмотрим четырехугольник $OMBK$ в плоскости основания. Сумма его углов равна $360^\circ$. Нам известны углы: $\angle OMB = 90^\circ$, $\angle OKB = 90^\circ$. Угол $\angle ABC$ — это внутренний угол правильного шестиугольника, который равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Тогда центральный угол $\angle MOK = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Треугольник $\triangle MOK$ — равнобедренный ($OM=OK=R$) с углом $60^\circ$ при вершине $O$, следовательно, он равносторонний. Значит, $MK = R$. Радиус $R$ найдем из того же прямоугольного треугольника, что и высоту. Диаметр $D = 2R$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$: $D = d \cos \alpha$. Отсюда $R = \frac{D}{2} = \frac{d \cos \alpha}{2}$. Следовательно, $MK = \frac{d \cos \alpha}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь прямоугольника $MM_1K_1K$: $S = MM_1 \cdot MK = (d \sin \alpha) \cdot \left(\frac{d \cos \alpha}{2}\right) = \frac{d^2}{2} \sin \alpha \cos \alpha$. Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем: $S = \frac{d^2}{4} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) = \frac{d^2}{4} \sin(2\alpha)$.

Ответ: $\frac{d^2}{4} \sin(2\alpha)$.