Номер 8.28, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.28. В цилиндр, радиус основания которого равен 13 см, вписана призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, основание $AB$ которого равно 24 см. Расстояние от точки $C_1$ до середины отрезка $AB$ равно 30 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $R = 13$ см. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо определить высоту цилиндра $H$.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ вписана в цилиндр, ее высота равна высоте цилиндра, то есть $H = CC_1$. Основания призмы (треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$) вписаны в основания цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра – окружность, в которую вписан равнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина основания $AB$ этого треугольника. Тогда $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Пусть $O$ – центр окружности (основания цилиндра). Отрезок $OM$ является расстоянием от центра окружности до хорды $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$ (угол $OMA$ прямой, так как радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей). Гипотенуза $OA$ – это радиус окружности, $OA = R = 13$ см. Катет $AM = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину катета $OM$:

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$OM = \sqrt{25} = 5$ см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота (а также медиана) $CM$ проходит через центр описанной окружности $O$. Следовательно, точки $C, O, M$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $CM$ равна сумме длин отрезков $CO$ (который является радиусом) и $OM$.

$CM = CO + OM = R + OM = 13 + 5 = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1M$. Его катеты – это высота цилиндра $H = CC_1$ и отрезок $CM$ в плоскости основания. Гипотенуза – это отрезок $C_1M$, соединяющий точку $C_1$ верхнего основания с серединой отрезка $AB$ нижнего основания. По условию, $C_1M = 30$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $CC_1M$:

$C_1M^2 = CC_1^2 + CM^2$

Отсюда найдем высоту цилиндра $H = CC_1$:

$H^2 = C_1M^2 - CM^2 = 30^2 - 18^2 = 900 - 324 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь, зная радиус $R = 13$ см и высоту $H = 24$ см, можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок.} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 13 \cdot 24 = 624 \pi$ см$^2$.

Ответ: $624 \pi$ см$^2$.