Номер 8.32, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.32. Отрезок $CD$ — высота треугольника $ABC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 15$ см, $CD = 12$ см. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник $BCD$.

Дано: $\triangle ABC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $CD$ — высота ($CD \perp AB$), $AC = 15$ см, $CD = 12$ см.
Найти: длину окружности, вписанной в $\triangle BCD$.

1. Найдем катет $AD$ в прямоугольном треугольнике $ACD$.
В $\triangle ACD$, $\angle CDA = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
$15^2 = AD^2 + 12^2$
$225 = AD^2 + 144$
$AD^2 = 225 - 144 = 81$
$AD = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Найдем стороны треугольника $BCD$.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному и друг другу. Следовательно, $\triangle ACD \sim \triangle CBD$.
Из подобия треугольников следует соотношение сторон:
$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$
Подставим известные значения:
$\frac{9}{12} = \frac{12}{BD}$
$9 \cdot BD = 12 \cdot 12$
$BD = \frac{144}{9} = 16$ см.
Теперь найдем гипотенузу $BC$ в прямоугольном треугольнике $BCD$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = CD^2 + BD^2$
$BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$ см.
Итак, стороны треугольника $BCD$: катеты $CD=12$ см, $BD=16$ см и гипотенуза $BC=20$ см.

3. Найдем радиус вписанной окружности в треугольник $BCD$.
Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:
$r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
$r = \frac{CD + BD - BC}{2} = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

4. Найдем длину вписанной окружности.
Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.
$L = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см.

Ответ: $8\pi$ см.