Номер 8.25, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.25. Ребро $AD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Диагональ $B_1D$ образует с гранями $ABCD$ и $AA_1D_1D$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда (грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ принадлежат основаниям цилиндра).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi Rh$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию, цилиндр описан около параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, причем грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ принадлежат основаниям цилиндра. Это означает, что параллелепипед является прямым, а его основание $ABCD$ — прямоугольником, так как только прямоугольник из всех параллелограммов можно вписать в окружность. Высота цилиндра $h$ равна высоте параллелепипеда $H = AA_1$. Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали прямоугольника $ABCD$, то есть $R = \frac{BD}{2}$.

Таким образом, формула площади боковой поверхности цилиндра преобразуется к виду: $S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{BD}{2} \cdot H = \pi \cdot BD \cdot H$. Для решения задачи нам необходимо выразить диагональ основания $BD$ и высоту параллелепипеда $H$ через известные величины.

Пусть измерения параллелепипеда: $AD=a$ (по условию), $AB=x$ и $AA_1=H$.

Угол $\alpha$ между диагональю $B_1D$ и гранью $ABCD$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость $ABCD$. Проекцией $B_1D$ является диагональ основания $BD$. Следовательно, $\angle B_1DB = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $\triangle B_1DB$ (где $\angle B_1BD = 90^\circ$, так как $BB_1$ перпендикулярно основанию) имеем: $H = BB_1 = B_1D \cdot \sin\alpha$ $BD = B_1D \cdot \cos\alpha$

Угол $\beta$ между диагональю $B_1D$ и гранью $AA_1D_1D$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость $AA_1D_1D$. Проекцией $B_1D$ на эту плоскость является диагональ боковой грани $A_1D$ (поскольку $A_1B_1 \perp$ плоскости $AA_1D_1D$). Следовательно, $\angle B_1DA_1 = \beta$. Из прямоугольного треугольника $\triangle B_1A_1D$ (где $\angle B_1A_1D = 90^\circ$) имеем: $A_1B_1 = B_1D \cdot \sin\beta$. Так как $A_1B_1 = AB = x$, то $x = B_1D \cdot \sin\beta$.

Рассмотрим прямоугольное основание $ABCD$. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = x^2 + a^2$.

Подставим в это равенство выражения для $BD$ и $x$, выраженные через $B_1D$: $(B_1D \cdot \cos\alpha)^2 = (B_1D \cdot \sin\beta)^2 + a^2$ $B_1D^2 \cos^2\alpha = B_1D^2 \sin^2\beta + a^2$ $B_1D^2 (\cos^2\alpha - \sin^2\beta) = a^2$ $B_1D^2 = \frac{a^2}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

Теперь, зная $B_1D^2$, мы можем найти $BD$ и $H$: $BD = B_1D \cos\alpha = \sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \cdot \cos\alpha = \frac{a \cos\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}$ $H = B_1D \sin\alpha = \sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \cdot \sin\alpha = \frac{a \sin\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}}$

Наконец, вычисляем искомую площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = \pi \cdot BD \cdot H = \pi \cdot \left( \frac{a \cos\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \right) \cdot \left( \frac{a \sin\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}} \right) = \frac{\pi a^2 \sin\alpha \cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \sin\alpha \cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$