Номер 8.18, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.18. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна $h$, а площадь боковой поверхности — $S$. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы.

Пусть основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными $a$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза этого треугольника равна $c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Периметр основания призмы $P$ равен сумме длин его сторон:$P = a + a + a\sqrt{2} = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S$ вычисляется по формуле $S = P \cdot h$, где $h$ - высота призмы. Подставив выражение для периметра, получим:$S = a(2 + \sqrt{2})h$.

Из этого уравнения выразим катет $a$:$a = \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})}$.

Цилиндр описан около призмы. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании призмы.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы:$R = \frac{c}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $a$ в формулу для радиуса $R$:$R = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})}$.

Упростим полученное выражение. Вынесем $\sqrt{2}$ в знаменателе за скобки:$R = \frac{S\sqrt{2}}{2h(2 + \sqrt{2})} = \frac{S\sqrt{2}}{2h\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{S}{2h(\sqrt{2} + 1)}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:$R = \frac{S}{2h(\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h(2 - 1)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}$.

Ответ: $R = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}$