Номер 8.12, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.12. В призму, основанием которой является равнобокая трапеция с основаниями 8 см и 18 см, вписан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если высота призмы равна 10 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота.

Из условия задачи известно, что цилиндр вписан в призму. Это означает, что высота цилиндра $h$ равна высоте призмы, а основание цилиндра (круг) вписано в основание призмы (равнобокую трапецию).
Высота призмы, а следовательно и высота цилиндра, равна $h = 10$ см.

Теперь найдем радиус основания цилиндра $r$. Он равен радиусу окружности, вписанной в равнобокую трапецию. Основания трапеции равны $a = 18$ см и $b = 8$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает:
$a + b = c + c = 2c$
$18 + 8 = 2c$
$26 = 2c$
$c = 13$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h_{трап} = 2r$). Найдем высоту трапеции. Для этого опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — боковая сторона $c=13$ см, один из катетов — высота $h_{трап}$, а другой катет — полуразность оснований: $\frac{a - b}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора:
$h_{трап}^2 = c^2 - (\frac{a-b}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$h_{трап} = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания цилиндра) равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь, зная радиус $r=6$ см и высоту $h=10$ см, вычисляем площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10 = 120 \pi$ см².

Ответ: $120 \pi$ см².